Veelhoeken (VWO 6 wis B) – Pagina 4

Vereenvoudigde sterrenkunde

De Wet van Titius-Bode is een wet uit de astronomie die door Johann Titius werd opgesteld in de achttiende eeuw. Deze wet legt een verband tussen het rangnummer van een planeet en de afstand van die planeet tot de zon. Met het rangnummer van een planeet wordt bedoeld: ‘de zoveelste planeet geteld vanaf de zon.’ De planeet die het dichtst bij de zon staat krijgt nummer 1, de volgende 2 enzovoorts.
De wet luidt:

$a=0{,}4+0{,}3\cdot 2^{n-2}$

Hierin is $a$ de afstand van de planeet tot de zon uitgedrukt in AE (Astronomische Eenheid, 1 AE = afstand van aarde tot de zon) en is $n$ het rangnummer van de planeet.

Saturnus heeft volgens de Wet van Titius-Bode een afstand van 10 AE tot de zon.

Opdracht 15: (2 punten)
Bereken exact welk rangnummer Saturnus dan zou hebben.

Aanpak:

De letter $a$ is de afstand en die is gegeven (10 AE) en dus $a=10$ . Als we dit invullen krijgen we de vergelijking $10=0{,}4+0{,}3\cdot 2^{n-2}$ die je voor deze vraag dus moet oplossen.

Uitwerking:

$0{,}4+0{,}3\cdot 2^{n-2}=10$
$0{,}3\cdot 2^{n-2}=9{,}6$
$2^{n-2}=32$
$2^{n-2}=2^5$
$n-2=5$
$n=7$

We bekijken de planeten Mars, Venus en de aarde. We gaan uit van het volgende eenvoudige model:
De drie planeten draaien ieder in een cirkelvormige baan met de zon als middelpunt. De drie banen liggen in één plat vlak. De afstand van Venus tot de zon is $0{,}7$ AE, de afstand van de aarde tot de zon is $1{,}0$ AE en de afstand van Mars tot de zon is $1{,}6$ AE.

Het is mogelijk dat de drie planeten op één lijn liggen waarbij Venus precies midden tussen Mars en de aarde in ligt. Deze situatie is weergegeven in figuur 1.

De afstand in AE van de aarde tot Venus is $d$ en hoek $AVZ$ in graden is $\alpha$ . Met behulp van figuur 1 kan het volgende verband tussen $d$ en $\alpha$ worden gevonden:

$\frac{d^2-0{,}51}{\cos(\alpha)} = \frac{d^2-2{,}07}{\cos(180^{\circ}-\alpha)}$

Opdracht 16: (3 punten)
Bewijs dat dit verband juist is.

Aanpak:

Het feit dat er $\cos(\alpha)$ en $\cos(180^{\circ}-\alpha)$ in de vraag staat, suggereert dat je cosinusregels moet gebruiken. De hoek $\alpha$ zie je in driehoek $\triangle AVZ$ en daar zit dus de eerste cosinusregel die je voor deze vraag nodig hebt: $1^2=0{,}7^2+d^2-2\cdot 0{,}7\cdot d\cdot \cos(\alpha)$

De hoek $180^{\circ}-\alpha$ zie je bij $\angle MVZ$ (want dat is een gestrekte hoek min $\angle AVZ$ ). De tweede driehoek waarin je de cosinusregel moet gebruiken is dus $\triangle MVZ$ . De cosinusregel in die driehoek geeft $1{,}6^2=d^2+0{,}7^2-2\cdot 0{,}7\cdot d\cdot \cos(\alpha)$ .

Vervolgens moeten we deze formules omschrijven en combineren zodat we de twee gevraagde termen krijgen. Hint: de gemakkelijkste manier om dit voor elkaar te krijgen, is om beide vergelijkingen te schrijven in de vorm $1{,}4d=\ldots$ . Je kan dan beide vergelijkingen gelijkstellen.

Uitwerking:

De cosinusregel in $\triangle AVZ$ geeft: $1^2=0{,}7^2+d^2-2\cdot 0{,}7\cdot d\cdot \cos(\alpha)$
$1^2=0{,}49+d^2-1{,}4d\cdot \cos(\alpha)$
$0{,}51-d^2=-1{,}4d\cdot \cos(\alpha)$
$d^2-0{,}51=1{,}4d\cdot \cos(\alpha)$
$\frac{d^2-0{,}51}{\cos(\alpha)}=1{,}4d$
$\angle MVZ = 180^{\circ} - \angle AVZ = 180^{\circ} - \alpha$
De cosinusregel in $\triangle MVZ$ geeft: $1{,}6^2=d^2+0{,}7^2-2\cdot 0{,}7\cdot d\cdot \cos(\alpha)$
$2{,}56=d^2+0{,}49-1{,}4d\cdot \cos(\alpha)$
$2{,}07-d^2=-1{,}4d\cdot \cos(\alpha)$
$d^2-2{,}07=1{,}4d\cdot \cos(\alpha)$
$\frac{d^2-2{,}07}{\cos(\alpha)}=1{,}4d$
Aangezien zowel $\frac{d^2-2{,}07}{\cos(\alpha)}$ als $\frac{d^2-0{,}51}{\cos(\alpha)}$ gelijk is aan $1{,}4d$ geldt dat $\frac{d^2-0{,}51}{\cos(\alpha)} = \frac{d^2-2{,}07}{\cos(180^{\circ}-\alpha)}$

Opdracht 17: (3 punten)
Bereken algebraïsch de afstand in AE van de aarde tot Venus in de gegeven situatie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Formuleblad:

Aanpak:

In de vorige vraag moesten we bewijzen dat de vergelijking $\frac{d^2-0{,}51}{\cos(\alpha)} = \frac{d^2-2{,}07}{\cos(180^{\circ}-\alpha)}$ geldt. Hierin komt de afstand $d$ voor en het is dus logisch dat we deze vergelijking moeten oplossen. Het probleem is alleen dat er nog een variabele $\alpha$ in de vergelijking voorkomt. Die moet dus op één of andere manier wegvallen. De manier om dat voor elkaar te krijgen, is door er eerst voor te zorgen dat de $\alpha$ alleen nog maar voorkomt in de vorm $\cos(\alpha)$ (en niet meer als $\cos(180^{\circ}-\alpha)$ ). Dit kun je voor elkaar krijgen met de formule $\cos(t-u) = \cos(t)\cos(u) -\sin(t)\sin(t)$ . Als je $t=180^{\circ}$ en $u=\alpha$ neemt, krijg je uiteindelijk:

$\cos(180^{\circ}-\alpha)= \cos(180^{\circ})\cos(\alpha) -\sin(180^{\circ})\sin(\alpha)$

Hierin invullen dat $\sin(180^{\circ})=0$ en $\cos(180^{\circ})=-1$ geeft de gevraagde manier om de $\cos(180^{\circ}-\alpha)$ om te schrijven naar iets met $\cos(\alpha)$ . Vervolgens raak je de $\cos(\alpha)$ kwijt door aan beide kanten met deze term te vermenigvuldigen. De rest van de vergelijking is dan een standaard vergelijking.

Uitwerking:

$\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos(\alpha)$ (uit exacte-waarden-cirkel of met formuleblad, zie aanpak)
$\frac{d^2-0{,}51}{\cos(\alpha)} = \frac{d^2-2{,}07}{\cos(180^{\circ}-\alpha)}$ geeft $\frac{d^2-0{,}51}{\cos(\alpha)} = \frac{d^2-2{,}07}{-\cos(\alpha)}$
Aan beide kanten keer $\cos(\alpha)$ doen, geeft $d^2-0{,}51 =\frac{d^2-2{,}07}{-1}$
$d^2-0{,}51 = -d^2+2{,}07$
$2d^2 = 2{,}58$
$d^2 = 1{,}29$
$d = 1{,}1357\ldots$
Afgerond op twee decimalen geeft dit $d \approx 1{,}14$ .

Meestal wordt gezegd dat de planeten in ons zonnestelsel om de zon draaien. Dat klopt echter niet helemaal: de zon en de planeten draaien allemaal om hun gemeenschappelijke zwaartepunt.

Stel dat het zonnestelsel alleen zou bestaan uit Jupiter en de zon. We beschouwen deze twee hemellichamen als twee puntmassa’s. Jupiter is verreweg de zwaarste planeet in ons zonnestelsel met een massa van $2\cdot 10^{27}$ kg en een afstand tot de zon van $8\cdot 10^8$ km. De zon heeft een massa van $2\cdot 10^{30}$ kg. Zie figuur 2 (niet op schaal).

De kleine cirkel in figuur 2 is de baan van de zon om het zwaartepunt.

Opdracht 18: (4 punten)
Bereken de straal van deze baan in km. Geef je eindantwoord in honderdduizendtallen.

Aanpak:

Veel meetkundeopdrachten worden gemakkelijker als je een assenstelsel introduceert. Een logische manier om dat hier te doen, is door de zon in de oorsprong te zetten en Jupiter op de $x$ -as. Die heeft dan coördinaten $(8\cdot 10^8, 0)$ .

Zodra je de coördinaten geïntroduceerd hebt, kun je met de formule $\overrightarrow{z}$ =\frac{1}{m_1+m_2}\cdot (m_1\cdot \overrightarrow{a_1}+m_2\cdot \overrightarrow{a_2})[/latex] de coördinaten van het zwaartepunt berekenen. Hierbij zijn $m_1$ en $m_2$ de massa van de zon en Jupiter en $\overrightarrow{a_1}$ en $\overrightarrow{a_2}$ de vectoren naar hun posities.

Uitwerking met formule zwaartepunt:

Als we de zon in de oorsprong zetten, hebben we als coördinaten van de zon $(0,0)$ en de coördinaten van Jupiter $(8\cdot 10^8,0)$ .
Het zwaartepunt wordt $\overrightarrow{z}=\frac{1}{2\cdot 10^{27}+2\cdot 10^{30}}\cdot(2\cdot 10^{30}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}+2\cdot 10^{27}\begin{pmatrix}8\cdot 10^8\\0\end{pmatrix})$
$\overrigtarrow{z}=\frac{1}{2{,}002\cdot 10^{30}}\cdot\begin{pmatrix}1{,}6\cdot 10^{36}\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{z}\approx\begin{pmatrix}799200\\0\end{pmatrix}$
Afgerond op honderduizendtallen is de afstand dus $800000$ km.

Uitwerking met momentenstelling:

We noemen de straal van de zon naar het zwaartepunt $r$ .
Dan is de straal van het zwaartepunt naar Jupiter $8\cdot 10^8-r$ .
De momentenstelling $m_1\cdot r_1 = m_2 \cdot r_2$ zegt in dit geval dat $2\cdot 10^{30}\cdot r = 2\cdot 10^{27}\cdot (8\cdot 10^8-r)$
$2\cdot 10^{30}\cdot r = 1{,}6\cdot 10^{36}-2\cdot 10^{27}\cdot r$
$2{,}002\cdot 10^{30}\cdot r = 1{,}6\cdot 10^{36}$
$r \approx 799200$
Afgerond op honderduizendtallen is de afstand dus $800000$ km.

Pagina's: 1234567891011