Veelhoeken (VWO 6 wis B) – Pagina 3

Op de diagonaal van een vierkant

Gegeven is een vierkant $ABCD$ met zijde 2. Punt $M$ is het midden van lijnstuk $AB$ . Punt $P$ ligt op diagonaal $AC$ en valt niet samen met punt $A$ of punt $C$ . Zie de figuur.

$P$ kan zo worden gekozen dat de lijnstukken $DP$ en $MP$ loodrecht op elkaar staan.

Opdracht 3: (6 punten)
Bereken exact de lengte van lijnstuk $AP$ in deze situatie.

Aanpak:

Vrijwel altijd als een punt op een grafiek (of in dit geval een lijn) gegeven is waarvan je niet direct de coördinaten kunt berekenen, is de truc om het $x$ -coördinaat van dat punt $p$ te noemen en dan alles in het plaatje in $p$ uit te drukken (te beginnen met het $y$ -coördinaat van dat punt).

In dit geval helpt het daarvoor om het vierkant eerst op een assenstelsel te leggen met $A(0,0)$ , $B(2,0)$ en $C(2,2)$ . De lijn $AC$ wordt dan gewoon $y=x$ en dan krijgen we dus $P(p,p)$ .

Vervolgens willen we dus genoeg in het plaatje in $p$ uitdrukken totdat we een vergelijking krijgen waarmee we $p$ kunnen berekenen. Als we iets hebben met een hoek van $90^{\circ}$ hebben we voor de vergelijking altijd in ieder geval de volgende vier opties:

Oplossen van $a_{MP}\cdot a_{DP}=-1$
Oplossen van $\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{DP}=0$
Oplossen van $MP^2+DP^2=DM^2$
Berekenen van het snijpunt van de cirkel met middellijn $DM$ met $AC$ (vermeld dat je de stelling van Thales gebruikt).

Uitwerking met richtingscoëfficiënten:

Laat $A(0,0)$ , $B(2,0)$ , $C(2,2)$ en $D(0,2)$ zijn.
Dan is $M(\frac{1}{2}(0+2), 0) = (1,0)$
$a_{AC}=\frac{2-0}{2-0}=1$ , dus $AC$ is de lijn $y=x$
$P(p,p)$
$a_{MP}=\frac{p-0}{p-1}=\frac{p}{p-1}$
$a_{DP}=\frac{p-2}{p-0}=\frac{p-2}{p}$
Als $DP$ en $MP$ loodrecht op elkaar staan, geldt $a_{MP}\cdot a_{DP}=-1$ . Dat geeft $\frac{p}{p-1}\cdot \frac{p-2}{p}=-1$
$\frac{p^2-2p}{p^2-p}=-1$
$p^2-2p=-p^2+p$
$2p^2-3p=0$
$(2p)(p-1\frac{1}{2})=0$
$p=0\vee p=1\frac{1}{2}$
In de tekst staat dat $P$ niet samenvalt met $A$ . Dus $p=1\frac{1}{2}$ en dus $P(1\frac{1}{2},1\frac{1}{2})$
Dus $AP=\sqrt{(1\frac{1}{2})^2+1\frac{1}{2})^2}=\sqrt{4\frac{1}{2}}$ (of omgeschreven naar $\frac{3}{2}\sqrt{2}$ ).

Uitwerking met richtingsvectoren:

Laat $A(0,0)$ , $B(2,0)$ , $C(2,2)$ en $D(0,2)$ zijn.
Dan is $M(\frac{1}{2}(0+2), 0) = (1,0)$
$a_{AC}=\frac{2-0}{2-0}=1$ , dus $AC$ is de lijn $y=x$ .
$P(p,p)$
$\overrightarrow{MP}=\begin{pmatrix}p\\p\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p-1\\p\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{DP}=\begin{pmatrix}p\\p\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p\\p-2\end{pmatrix}$
Als $DP$ en $MP$ loodrecht op elkaar staan, geldt $\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{DP}=0$ . Dat geeft $\begin{pmatrix}p-1\\p\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}p\\p-2\end{pmatrix}=0$
$(p-1)\cdot p+p\cdot (p-2)=0$
$p^2-p+p^2-2p=0$
$2p^2-3p=0$
$(2p)(p-1\frac{1}{2})=0$
$p=0\vee p=1\frac{1}{2}$
In de tekst staat dat $P$ niet samenvalt met $A$ . Dus $p=1\frac{1}{2}$ en dus $P(1\frac{1}{2},1\frac{1}{2})$
Dus $AP=\sqrt{(1\frac{1}{2})^2+1\frac{1}{2})^2}=\sqrt{4\frac{1}{2}}$ (of omgeschreven naar $\frac{3}{2}\sqrt{2}$ ).

Uitwerking met Pythagoras:

Laat $A(0,0)$ , $B(2,0)$ , $C(2,2)$ en $D(0,2)$ zijn.
Dan is $M(\frac{1}{2}(0+2), 0) = (1,0)$
$a_{AC}=\frac{2-0}{2-0}=1$ , dus $AC$ is de lijn $y=x$ .
$P(p,p)$
$MP=\sqrt{(p-1)^2+p^2}$
$DP=\sqrt{p^2+(p-2)^2}$
$DM=\sqrt{1^2+(0-2)^2}=\sqrt{5}$
Als $DP$ en $MP$ loodrecht op elkaar staan, geldt de stelling van Pythagoras in $\triangle DMP$ . Dat geeft $MP^2+DP^2=DM^2$
$(p-1)^2+p^2+p^2+(p-2)^2=5$
$p^2-2p+1+p^2+p^2+p^2-4p+4=5$
$4p^2-6p=0$
$(4p)(p-1\frac{1}{2})=0$
$p=0\vee p=1\frac{1}{2}$
In de tekst staat dat $P$ niet samenvalt met $A$ . Dus $p=1\frac{1}{2}$ en dus $P(1\frac{1}{2},1\frac{1}{2})$
Dus $AP=\sqrt{(1\frac{1}{2})^2+1\frac{1}{2})^2}=\sqrt{4\frac{1}{2}}$ (of omgeschreven naar $\frac{3}{2}\sqrt{2}$ ).

Uitwerking met Thales:

Laat $A(0,0)$ , $B(2,0)$ , $C(2,2)$ en $D(0,2)$ zijn.
Dan is $M(\frac{1}{2}(0+2), 0) = (1,0)$
$a_{AC}=\frac{2-0}{2-0}=1$ , dus $AC$ is de lijn $y=x$ .
$P(p,p)$
Het midden van $DM$ is $N(\frac{1}{2},1)$ .
$MN=\sqrt{(1-\frac{1}{2})^2+1^2)=\sqrt{1\frac{1}{4}}$
De cirkel met middellijn $DM$ is dus $(x-\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=1\frac{1}{4}$
Als $DP$ en $MP$ loodrecht op elkaar staan, geldt volgens de stelling van Thales dat $P$ op de cirkel met middellijn $DM$ ligt. Dat geeft $(p-\frac{1}{2})^2+(p-1)^2=1\frac{1}{4}$
$p^2-p+\frac{1}{4}+p^2-2p+1=1\frac{1}{4}$
$2p^2-3p=0$
$(2p)(p-1\frac{1}{2})=0$
$p=0\vee p=1\frac{1}{2}$
In de tekst staat dat $P$ niet samenvalt met $A$ . Dus $p=1\frac{1}{2}$ en dus $P(1\frac{1}{2},1\frac{1}{2})$
Dus $AP=\sqrt{(1\frac{1}{2})^2+1\frac{1}{2})^2}=\sqrt{4\frac{1}{2}}$ (of omgeschreven naar $\frac{3}{2}\sqrt{2}$ ).

Pagina's: 1234567891011