Driehoeken (HAVO 5 wis B) – Pagina 9

Hoe lang is DE?

Gegeven is driehoek $ABC$ met $AB=11$ , $BC=8$ en $AC=5$ .
Het punt $D$ ligt op zijde $AB$ , zo dat lijnstuk $CD$ loodrecht op zijde $AB$ staat.
Het punt $E$ ligt op zijde $AC$ , zo dat lijnstuk $DE$ evenwijdig is met zijde $BC$ .
Zie de figuur.

Opdracht 3: (6 punten)
Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk $DE$ . Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Aanpak:

Als er evenwijdige lijnen zijn in een figuur moet je meestal iets doen met gelijkvormigheid. Vanwege F-hoeken zijn er dan namelijk bijna altijd gelijkvomige driehoeken. Hier zijn dat $\triangle ADE$ en $\triangle ABC$ . Aangezien we alle zijdes van $\triangle ABC$ al hebben, hoeven we maar één zijde in $\triangle ADE$ te berekenen om met de gelijkvormigheid $DE$ te berekenen.

De zijde $AD$ lijkt hierbij de gemakkelijkste zijde om te berekenen in $\triangle ADE$ , omdat die in een rechthoekige driehoek zit. De eenvoudigste manier om $AD$ te berekenen, is om met de cosinusregel in $\triangle ABC$ hoek $\angle A$ te berekenen en dan kun je met SOS/CAS/TOA in driehoek $\triangle ADC$ de lengte van $AD$ berekenen. De manier hoe je hier op komt, is dat je altijd moet starten in de driehoek waarin je drie gegevens weet en moet toewerken naar de driehoek waarin je iets wilt berekenen. Aangezien $\angle A$ zowel in de driehoek zit waarin je al drie dingen weet ( $\triangle ABC$ ) als in de driehoek waarin je wilt berekenen ( $\triangle ADC$ of $\angle ADE$ ) start je daar.

Uitwerking met cosinusregel:

De cosinusregel in $\triangle ABC$ geeft $8^2=5^2+11^2-2\cdot 5\cdot 11\cdot \cos(\angle A)$ .
$64=25+121-110 \cos(\angle A)$
$-82=-110\cos(\angle A)$
$\cos(\angle A)=0{,}745\ldots$
$\angle A =41{,}801\ldots^{\circ}$
In $\triangle ADC$ hebben we $\cos(\angle A)=\frac{AD}{AC}$ .
$\cos(41{,}801\ldots^{\circ})=\frac{AD}{5}$
$AD=5\cos(41{,}801\ldots^{\circ})=3{,}727\ldots$
Driehoeken $\triangle ADE$ en $\triangle ABC$ zijn gelijkvormig, want $\angle A$ is in beide driehoeken dezelfde hoek en $\angle ADE= \angle ABC$ vanwege F-hoeken.
Uit de gelijkvormigheid volgt $\frac{DE}{AD}=\frac{BC}{AB}$ .
Dit geeft $DE=\frac{BC}{AB}\cdot AD=\frac{8}{11}\cdot 3{,}727\ldots = 2{,}7107\ldots$
Afgerond op twee decimalen is het antwoord dus $DE\approx 2{,}71$ .

Uitwerking met twee keer Pythagoras:

Stel $AD=x$ . Dan is $BD=11-x$ . Verder stellen we $CD=y$ .
Dan geeft Pythagoras in $\triangle ACD$ : $x^2+y^2=5^2$ .
Pythagoras in $\triangle DBC$ geeft $(11-x)^2+y^2=8^2$ .
Als we $(11-x)^2+y^2=64$ en $x^2+y^2=25$ van elkaar aftrekken, krijgen we $(11-x)^2-x^2=39$
$121-22x+x^2-x^2=39$
$-22x=-82$
$x=\frac{41}{11}$
Driehoeken $\triangle ADE$ en $\triangle ABC$ zijn gelijkvormig, want $\angle A$ is in beide driehoeken dezelfde hoek en $\angle ADE= \angle ABC$ vanwege F-hoeken.
Uit de gelijkvormigheid volgt $\frac{DE}{AD}=\frac{BC}{AB}$ .
Dit geeft $DE=\frac{BC}{AB}\cdot AD=\frac{8}{11}\cdot \frac{41}{11} = \frac{328}{121}$
Afgerond op twee decimalen is het antwoord dus $DE\approx 2{,}71$ .

Uitwerking met cosinusregel (zonder gelijkvormigheid):

De cosinusregel in $\triangle ABC$ geeft $8^2=5^2+11^2-2\cdot 5\cdot 11\cdot \cos(\angle A)$ .
$64=25+121-110 \cos(\angle A)$
$-82=-110\cos(\angle A)$
$\cos(\angle A)=0{,}745\ldots$
$\angle A =41{,}801\ldots^{\circ}$
In $\triangle ADC$ hebben we $\cos(\angle A)=\frac{AD}{AC}$ .
$\cos(41{,}801\ldots^{\circ})=\frac{AD}{5}$
$AD=5\cos(41{,}801\ldots^{\circ})=3{,}727\ldots$
De cosinusregel in $\triangle ABC$ geeft $11^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos(\angle C)$ .
$121=25+64-80\cos(\angle C)$
$32=-80\cos(\angle C)$
$\cos(\angle C)=-0{,}4$
$\angle C = 113{,}578\ldots^{\circ}$
Vanwege F-hoeken geldt $\angle AED=\angle ACB=113{,}578\ldots^{\circ}$ .
Met de sinusregel in $\triangle ADE$ krijgen we $\frac{DE}{\sin(\angle A)}=\frac{AD}{\sin(\angle AED)}$
Dit geeft $DE=\frac{AD}{\sin(\angle AED)}\cdot \sin(\angle A)=\frac{3{,}727\ldots}{\sin(113{,}578\ldots^{\circ})}\cdot \sin(41{,}801\ldots^{\circ}) = 2{,}7107\ldots$
Afgerond op twee decimalen is het antwoord dus $DE\approx 2{,}71$ .

Pagina's: 123456789