Driehoeken (HAVO 5 wis B) – Pagina 5

Monte Etna

De vulkaan Etna op Sicilië is vanaf de Middellandse Zee zichtbaar.

De hoogte van de Etna kan worden bepaald door middel van een zogeheten driehoeksmeting.
Vanaf een boot op zee wordt twee keer de hoek gemeten waaronder de top $T$ van de Etna te zien is. Eerst wordt hoek $\alpha = 5{,}3^{\circ}$ gemeten, vervolgens wordt 10 km in een rechte lijn richting de Etna gevaren en hoek $\beta = 7{,}4^{\circ}$ gemeten. Zie de figuur, waarin ook de hoogte $h$ van de top $T$ ten opzichte van de Middellandse Zee is weergegeven. Deze figuur is niet op schaal.

In dit model worden de kromming van de aarde en de ooghoogte van de waarnemer boven de zee verwaarloosd.

Opdracht 4: (5 punten)
Bereken de hoogte van de Etna ten opzichte van de Middellandse Zee. Geef je antwoord in tientallen meters nauwkeurig.

Aanpak:

Om de sinusregel en cosinusregel te kunnen gebruiken hebben we drie gegevens in een driehoek nodig (waarvan minstens één zijde). Aangezien we alleen een zijde hebben in driehoek $ABT$ moet dat de driehoek worden waarin we de sinusregel en/of cosinusregel als eerste moeten toepassen. Hiervoor hebben we nog wel een derde gegeven in die driehoek nodig. Die krijgen we dankzij de gestrekte hoek bij hoek $B$ .

De stappen in deze opgave worden daarmee:

Bereken hoek $\angle ABT$ met een gestrekte hoek.
Bereken hoek $\angle ATB$ met hoekensom driehoek.
Bereken $BT$ (of $AT$ ) met de sinusregel.
Bereken $h$ met SOS/CAS/TOA.

Uitwerking met berekenen van $BT$ :

$\angle ABT = 180^{\circ}-7{,}4^{\circ}=172{,}6^{\circ}$
$\angle ATB = 180^{\circ}-5{,}3^{\circ}-172{,}6^{\circ}=2{,}1^{\circ}$
$\frac{BT}{\sin(5{,}3^{\circ})} = \frac{10}{\sin(2{,}1^{\circ})}$
$BT=\sin(5{,}3^{\circ}) \cdot \frac{10}{\sin(2{,}1^{\circ})} = 25{,}207\ldots$
Er geldt $\sin(7{,}4^{\circ})=\frac{h}{25{,}207\ldots}$
$h=\sin(7{,}4^{\circ})\cdot 25{,}207\ldots$
$h=3{,}2466\ldots$ km
$h=3246{,}6\ldots$ m
Afgerond op tientallen meters is dit 3250 meter.

Uitwerking met berekenen van $AT$ :

$\angle ABT = 180^{\circ}-7{,}4^{\circ}=172{,}6^{\circ}$
$\angle ATB = 180^{\circ}-5{,}3^{\circ}-172{,}6^{\circ}=2{,}1^{\circ}$
$\frac{AT}{\sin(172{,}6^{\circ})} = \frac{10}{\sin(2{,}1^{\circ})}$
$AT=\sin(172{,}6^{\circ}) \cdot \frac{10}{\sin(2{,}1^{\circ})} = 35{,}148\ldots$
Er geldt $\sin(172{,}6^{\circ})=\frac{h}{35{,}148\ldots}$
$h=\sin(5{,}3^{\circ})\cdot 35{,}148\ldots$
$h=3{,}2466\ldots$ km
$h=3246{,}6\ldots$ m
Afgerond op tientallen meters is dit 3250 meter.

Pagina's: 123456789