Driehoeken (HAVO 5 wis B) – Pagina 7

Halve hoek

Gegeven zijn de driehoeken $ABC$ en $BCQ$ met $AB=10$ , $BC=12$ , $BC=CQ=7$ en $\angle BAC = \alpha$ . Bovendien is gegeven $\angle BQC = 2\alpha$ .
Zie de figuur.

Opdracht 7: (6 punten)
Bereken $AC$ . Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Aanpak:

We beginnen altijd in de driehoek waarin we minstens drie gegevens hebben. Dat is in dit geval $\triangle ABC$ . Met behulp van de cosinusregel kunnen we daar $\alpha$ berekenen waarna we ook drie gegevens hebben in $\triangle ABC$ .
We hebben dan twee zijden en een hoek in $\triangle ABC$ en willen nog een zijde berekenen en gebruiken daarom de cosinusregel. Hierin komt de zijde $AC$ twee keer voor (het is een kwadratische vergelijking), maar omdat er geen exact, algebraïsch of exact in de vraag staat, mag je deze vergelijking met de GR oplossen.

Uitwerking met GR:

De cosinusregel in $\Delta BCQ$ geeft $12^2=7^2+7^2 -2\cdot 7\cdot 7\cos(2\alpha)$
Voer in: $\begin{cases}{Y_1 = 12^2 \\ Y_2 =7^2+7^2 -2\cdot 7\cdot 7\cos(2x)\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x = 58{,}99\ldots^{\circ}$ en dus $\alpha = 58{,}99\ldots^{\circ}$ .
De cosinusregel in $\Delta ABC$ geeft
$12^2=10^2+AC^2 -2\cdot 10\cdot AC\cos(58{,}99\ldots^{\circ})$
Voer in: $\begin{cases}{Y_1 = 12^2 \\ Y_2 =10^2+x^2 -2\cdot 10\cdot x\cos(58{,}99\ldots^{\circ})\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x = 13{,}549\ldots$ (de negatieve $x$ voldoet natuurlijk niet, omdat het een lengte is)
Dus $AC = 13{,}55$

Uitwerking zonder GR:

De cosinusregel in $\Delta BCQ$ geeft
$12^2=7^2+7^2 -2\cdot 7\cdot 7\cos(2\alpha)$
$144=49+49 -98\cos(2\alpha)$
$46= -98\cos(2\alpha)$
$\cos(2\alpha)=-0{,}469\ldots$
$2\alpha = 117{,}99\ldots^{\circ}$
$\alpha = 58,99\ldots^{\circ}$ .
$\frac{\sin(\angle BCA)}{10}=\frac{\sin(58{,}99\ldots^{\circ})}{12}$
$\sin(\angle BCA)=10\cdot\frac{\sin(58{,}99\ldots^{\circ})}{12}$
$\sin(\angle BCA)=0{,}7142\ldots$
$\angle BCA=45{,}584\ldots^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ}- 45{,}584\ldots^{\circ} - 58,99\ldots^{\circ}=75{,}418\ldots^{\circ}$
$\frac{AC}{\sin(75{,}418\ldots^{\circ})} = \frac{12}{\sin(58{,}99\ldots^{\circ})}$
$AC=\sin(75{,}418\ldots^{\circ})\cdot \frac{12}{\sin(58{,}99\ldots^{\circ})}$
$AC = 13{,}549\ldots$
Dus $AC = 13{,}55$

Pagina's: 123456789