Driehoeken (HAVO 5 wis B) – Pagina 3

Klok

De klok op de foto hierboven heeft een kleine wijzer met een lengte van 8,5 cm en een grote wijzer met een lengte van 12,5 cm. Het uiteinde van de kleine wijzer noemen we $A$ ; het uiteinde van de grote wijzer noemen we $B$ .

Als het bijvoorbeeld 2:00 uur is, dan wijst de kleine wijzer precies naar 2 en staat de grote wijzer precies op 12.
Is het bijvoorbeeld 2:15 uur (kwart over twee), dan heeft de kleine wijzer precies een kwart van de hoek tussen de 2 en de 3 afgelegd; de grote wijzer staat dan precies op 3.

Op de klok op de foto is het precies 2:25 uur (vijf voor half drie).

Opdracht 2: (7 punten)
Bereken in deze situatie de afstand tussen $A$ en $B$ . Geef je antwoord in gehele millimeters nauwkeurig.

Aanpak:

Als we een plaatje maken van de driehoek met $A$ en $B$ krijgen we:

We zien hierin dat we in deze driehoek nog maar twee gegevens hebben. Dit betekent dat we eerst buiten deze driehoek iets moeten doen om een derde gegeven in deze driehoek te krijgen. De truc gaat zijn om de hoek bij $O$ te bepalen. Dat kun je doen door te berekenen welke hoek de grote wijzer met 12 uur maakt en welke hoek de kleine wijzer met 12 uur maakt. De hoek $O$ tussen de wijzers is dan het verschil tussen deze twee hoeken.
De stappen in dit probleem zijn dus:

Bepaal de hoek van de grote wijzer met 12 uur.
Bepaal de hoek van de kleine wijzer met 12 uur.
Bepaal de hoek tussen de twee wijzers.
Bereken de lengte AD met de cosinusregel.

Uitwerking:

De hoek die de grote wijzer met de 12 maakt, is $\frac{25}{60}\cdot 360^{\circ} = 150^{\circ}$ .
De kleine wijzer maakt een hoek van $\frac{1}{12}\cdot 360^{\circ}$ per uur.
In $2\frac{25}{60}$ uur, maakt die dus een hoek van $2\frac{25}{60}\cdot 30^{\circ}=72{,}5^{\circ}$ .
De hoek die de wijzers met elkaar maken, is dus $150^{\circ}-72{,}5^{\circ}=77{,}5^{\circ}$ .
$AB^2=8{,}5^2+12{,}5^2-2\cdot 12{,}5\cdot 8{,}5 \cos(77{,}5^{\circ})$
$AB^2=182{,}5\ldots$
$AB=13{,}50\ldots$ cm
$AB=135{,}0\ldots$ mm
Afgerond op gehele mm is de afstand van $A$ tot $B$ 135 mm.

Pagina's: 123456789