Driehoeken (HAVO 5 wis B) – Pagina 4

Gooilandkaart

In 1723 heeft landmeter M. Walraven onderstaande kaart van het Gooi gemaakt. De hoekpunten van de driehoeken op de kaart zijn vaak de kerktorens van de dorpen. Met behulp van een hoekmeetinstrument heeft Walraven enkele hoeken zeer nauwkeurig opgemeten. Verder zijn twee hemelsbrede afstanden bepaald. Met het netwerk van driehoeken op de kaart kunnen zo de afstanden tussen de kerktorens berekend worden.

In 1723 zijn de volgende metingen gedaan:

De afstand tussen (de kerktorens van) Laren en Hilversum is 5060 meter.
De afstand tussen (de kerktorens van) Naarden en Hilversum is 4810 meter.
De hoek tussen Laren-Hilversum en Laren-Naarden is $90{,}9^{\circ}$ .
De hoek tussen Hilversum-Laren en Hilversum-Naarden is $49{,}3^{\circ}$ .
De hoek tussen Naarden-Huizen en Naarden-Laren is $47{,}7^{\circ}$ .

Zie de figuur.

Opdracht 3: (6 punten)
Bereken de afstand tussen (de kerktorens van) Huizen en Hilversum. Geef je eindantwoord in tientallen meters nauwkeurig.

Aanpak:

We moeten altijd beginnen in de driehoek waar we al drie gegevens hebben. Dat is in dit geval de driehoek Naarden-Laren-Hilversum. In deze driehoek willen we nieuwe hoeken en zijden berekenen totdat we drie gegevens hebben in een driehoek waar de zijde Hilversum-Huizen voorkomt. Aangezien de zijde Hilversum-Huizen alleen voorkomt in de driehoek Hilversum-Huizen-Naarden gaan we dus gegevens berekenen van deze driehoek. Dat lukt als volgt:

De afstand van Huizen naar Naarden is gegeven.
De hoek bij Naarden kun je in de driehoek Naarden-Laren-Hilversum berekenen met hoekensom driehoek. Vervolgens kun je ook de hele hoek bij Naarden berekenen.
De afstand van Naarden naar Hilversum kun je met de sinusregel berekenen.

Zodra je deze drie gegevens hebt in driehoek Hilversum-Huizen-Naarden met de cosinusregel de afstand van Hilversum naar Huizen berekenen.

Uitwerking:

Met hoekensom driehoek krijgen we dat
$\angle \text{Laren-Naarden-Hilversum} = 180^{\circ} - 49{,3}^{\circ} - 90{,}9^{\circ} = 39{,}8^{\circ}$
Voor de afstand $HN$ van Hilversum naar Naarden geldt:
$\frac{HN}{\sin(90{,}9^{\circ})}=\frac{5060}{\sin(39{,}8^{\circ})}$ .
$HN = \sin(90{,}9^{\circ}) \cdot \frac{5060}{\sin(39{,}8^{\circ})} = 7903{,}9\ldots$
De hele hoek bij Naarden is $47{,}7^{\circ}+39{,}8^{\circ}=87{,}5^{\circ}$ .
Voor de afstand $HZ$ van Huizen naar Hilversum geldt:
$ZH^2=4810^2+7903{,}9\ldots^2-2\cdot 4810\cdot 7903{,}9\ldots\cdot\cos(87{,}5^{\circ})$
$ZH^2=82291417{,}9\ldots$ meter
$ZH=9071{,}4\ldots$ meter
Afgerond op tientallen meter is de gevraagde afstand 9070 meter.

Pagina's: 123456789