Wiskunde van Ypma

Extra oefeningen Python

Hieronder staan bij alle niveau’s van level 1.1 t/m 1.9 drie extra opdrachten staan om mee te oefenen.

Niveau 1.1

Opdracht 1:
Als invoer krijg je op de eerste regel een geheel getal $n$ en op de tweede regel een geheel getal $m$ . De output moet de rest zijn bij deling van $n$ door $m$ .
Voorbeeldinput:
10
3
Voorbeeldouput:
1

Je kunt je antwoord controleren door hem in te voeren bij de opdracht Flatbökuveisla op Kattis

Hint:

Met 10%3 kun je in Python de rest berekenen bij deling van 10 door 3.

Opdracht 2:
Als invoer krijg je op de eerste regel hoeveel gordijnen meneer Ypma in totaal open moet doen. Op de tweede regel staat hoeveel gordijnen meneer Ypma al open heeft gedaan. Geef als output hoeveel gordijnen nog open moet doen.
Voorbeeldinput:
183
87
Voorbeeldoutput:
96

Je kunt je antwoord controleren door hem in te voeren bij de opdracht Draga Frá op Kattis.

Hint:

Eigenlijk wordt gewoon gevraagd om $n-m$ als output te geven waarbij $n$ het eerste getal is en $m$ het tweede getal.

Opdracht 3:
Als invoer krijg je op de eerste regel een stukje tekst. Op de tweede regel krijg je ook een stuk tekst. Plak deze twee stukken tekst aan elkaar als output (zonder spatie ertussen!).
Voorbeeldinput:
schaak
meester
Voorbeeldoutput:
schaakmeester.

Je kunt je antwoord controleren door hem in te voeren bij de opdracht Concatenate op Kattis.

Hint:

Als je twee strings met een plusteken verbindt, plakt Python deze zonder spatie aan elkaar. Dat geeft dus “schaak”+”meester”=”schaakmeester”

Pagina's: 1234567

Oefentoets complexe getallen

Opdracht 1: (5 punten)
Bereken exact alle oplossingen van $x^3=-i$ . Geef je antwoorden in de vorm $x=a+bi$ .

Uitwerking:

Punt 1:
We hebben geleerd dat je bij dit soort vergelijkingen de rechterkant eerst in poolcoördinaten moet schrijven. De afstand van $-i$ tot de oorsprong is 1 en de hoek is $\frac{3}{2}\pi$ . Dat wordt dus $x^3=e^{\frac{3}{2}\pi i+k\cdot 2\pi i}$ . Let hierbij op de $+k\cdot 2\pi i$ zodat je alle oplossingen krijgt.

Punt 2:
Vervolgens doen we aan beide kanten tot de macht $\frac{1}{3}$ . Dat geeft $x=e^{\frac{1}{2}\pi i+k\cdot \frac{2}{3}\pi i}$ , want tot de macht $\frac{1}{3}$ , betekent dat we de exponent keer $\frac{1}{3}$ moeten doen.

Punt 3:
We krijgen nu de drie oplossingen door $k=0$ , $k=1$ en $k=2$ in te vullen. Dat geeft $x=e^{\frac{1}{2}\pi i}\vee x=e^{\frac{7}{6}\pi i}\vee x=e^{\frac{11}{6}\pi i}$ .

Punt 4:
We gebruiken de formule van Euler om dit naar de vorm $a+bi$ om te schrijven. Dat geeft $x=\cos(\frac{1}{2}\pi)+i \siin(\frac{1}{2}\pi)\vee x=\cos(\frac{7}{6}\pi)+i \siin(\frac{7}{6}\pi)\vee x=\cos(\frac{11}{6}\pi)+i \sin(\frac{11}{6}\pi)$ .

Punt 5:
Vervolgens gebruiken we onze kennis van de eenheidscirkel om deze sinussen en cosinussen te berekenen. Dat geeft $x=i \vee x=-\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}i\vee x=\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}i}$

Opdracht 2: (3 punten)
Vind alle functies $f$ , waarvoor geldt $f'(x)=\cos(x)f(x)+\frac{f(x)}{2x}$ .

Uitwerking:

Punt 1:
We moeten de differentiaalvergelijking eerst omschrijven naar $f'(x)=\text{functie}\cdot f(x)$ Hiervoor gebruiken we de rekenregel $\frac{a}{b}=\frac{1}{b}\cdot a$ . Met behulp daarvan kunnen we onze functie herschrijven naar $f'(x)=(\cos(x)+\frac{1}{2x})\cdot f(x)$ .

Punt 2:
We hebben geleerd dat de functie de vorm $f(x)=c\cdot e^{g(x)}$ is waarbij de afgeleide van $g(x)$ gelijk moet zijn aan $g'(x)=\cos(x)+\frac{1}{2x}$ . Hiervoor moeten we dus eerst $\cos(x)+\frac{1}{2x}$ primitiveren. Dat kan op twee manieren. De eerste is met behulp van de kettingregel. Die zegt $g(x)=\sin(x)+\ln|2x|\cdot \frac{1}{2}$ . De tweede is door $\frac{1}{2x}$ te herschrijven als $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x}$ . Als we dat doen, krijgen we $g(x)=\sin(x)+\frac{1}{2}\ln|x|$ . Bonusvraag: beredeneer waarom beide antwoorden die er anders uitzien beide goed zijn.

Punt 3:
$g(x)$ invullen in $f(x)=c\cdot e^{g(x)}$ geeft $f(x)=c\cdot e^{\sin(x)+\frac{1}{2}\ln|x|}$ .

Opdracht 3: (4 punten)
Vind alle functies $g$ waarvoor geldt $g'(x)=5g(x)+15x$ .

Uitwerking:

Punt 1:
Voor de particuliere vergelijking moeten we $g(x)=ax+b$ invullen. Daarvoor is $g'(x)=a$ . Dit gezamenlijk invullen in $g'(x)=5g(x)+15x$ geeft $a=5(ax+b)+15x$ .

Punt 2:
Haakjes uitwerken en alles naar één kant halen geeft $5ax+5b-a+15x=0$ . Vervolgens de $x$ buiten haakjes halen, geeft $(5a+15)x+(5b-a)=0$ . Dit kan alleen nul zijn als $\biggr\{\begin{matrix}5a+15=0\\ 5b-a=0\end{matrix}$ .

Punt 3:
$5a+15=0$ geeft $5a=-15$ en dus $a=-3$ . Dat substitueren in $5b-a=0$ geeft $5b+3=0$ en vervolgens $5b=-3$ en dus $b=-\frac{3}{5}$ . Daarmee wordt de particuliere oplossing $g(x)=-3x-\frac{3}{5}$ .

Punt 4:
De homogene vergelijking is $g'(x)=5g(x)$ . De oplossing daarvan is $g(x)=c\cdot e^{5x}$ . De algemene oplossing wordt dus $g(x)=-3x-\frac{3}{5}+c\cdot e^{5x}$ .

Opdracht 4: (10 punten)
Bereken exact alle oplossingen van $x^3-18x-35=0$ .

Uitwerking:

Punt 1:
We hebben geen kwadratische term. Het buigpunt ligt dus al op de $y$ -as en de eerste stap wordt dus om $x=x_2+\frac{t}{x_2}$ te substitueren. Dat geeft $(x_2+\frac{t}{x_2})^{\,3}-18(x_2+\frac{t}{x_2})-35=0$ .

Punt 2:
We werken nu de haakjes uit tot $x_2^{\,3}+3tx_2+3t^2\frac{1}{x_2}+\frac{t^3}{x_2^{\,3}}-18x_2-18t\frac{1}{x_2}-35=0$ en nemen vervolgens de gelijknamige termen weer bij elkaar:
$x_2^{\,3}+(3t-18)x_2+(3t^2-18t)\frac{1}{x_2}+\frac{t^3}{x_2^{\,3}}-35=0$

Punt 3:
We zien dat de twee termen met $x_2$ en $\frac{1}{x_2}$ wegvallen als $t=6$ . Dit substitueren geeft $x_2^{\,3}+\frac{216}{x_2^{\,3}}-35=0$ .

Punt 4:
We doen nu de substitutie $x_3=x_2^{\,3}$ . Dat geeft $x_3+\frac{216}{x_3}-35=0$ . Vermenigvuldigen met $x_3$ geeft de kwadratische vergelijking $(x_3)^{\,2}-35x_3+216=0$ .

Punt 5:
Dit oplossen geeft $(x_3-8)(x_3-27)=0$ en dus $x_3=8\vee x_3=27$ .

Punt 6:
Terugsubstitueren in $x_3=x_2^{\,3}$ geeft $x_2=\sqrt[3]{8}=2\vee x_2=\sqrt[3]{27}=3$ . Dit en $t=6$ terugsubstitueren in $x=x_2+\frac{t}{x_2}$ geeft $x=2+\frac{6}{2}=5$ en $x=3+\frac{6}{3}=5$ .

Punt 7:
We weten nu dat $x^3-18x-35=0$ de vorm $(x-5)(x^2+ax+b)=0$ heeft. Er moet dus gelden $x^3-18x-35=(x-5)(x^2+ax+b)$ . Haakjes uitwerken geeft $x^3-18x-35=x^3+ax^2+bx-5x^2-5ax-5b$ .

Punt 8:
Gelijknamige termen samennemen geeft $x^3-18x-35=x^3+(a-5)x^2+(b-5a)x-5b$ . Dit kan alleen gelijk aan elkaar zijn als $\biggr \{ \begin{matrix}a-5=0 \\ b-5a=-18 \\-35=-5b\end{matrix}$ .

Punt 9:
De oplossing hiervan is $a=5$ en $b=7$ . Oplossing 2 en 3 krijgen we dus door $x^2+5x+7=0$ op te lossen. Kwadraat afsplitsen geeft $(x+\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}+7=0$

Punt 10:
Er geldt dus $(x+\frac{5}{2})^2=-\frac{3}{4}$ . Aan beide kanten een wortel nemen geeft $x+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}i \vee x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}i$ . De uiteindelijke oplossing van onze vergelijking is dus $x=5\vee x=-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}i \vee x=-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}i$

Opdracht 5: (5 punten)
Bereken de eerste vier termen van de Taylorreeks van $f(x)=\frac{1}{3x+1}$ rond $x=0$ .

Uitwerking:

Punt 1:
We zoeken een formule van de vorm $g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ . Uit $g(0)=f(0)$ halen we $a_0=\frac{1}{1}=1$ .

Punt 2:
Er geldt $f(x)=(3x+1)^{-1}$ en dus $f'(x)=-3(3x+1)^{-2}$ .

Punt 3:
Uit $g'(0)=f'(0)$ volgt nu $a_1=-3$

Punt 4:
De tweede afgeleide is $f''(x)=18(3x+1)^{-3}$ . Uit $g''(0)=f''(0)$ volgt dan $2a_2=18$ en dus $a_2=9$ .

Punt 5:
De derde afgeleide van $f$ is $f'''(x)=-162(3x+1)^{-4}$ . Dan volgt uit $g'''(0)=f'''(0)$ dat $6a_3=-162$ en dus $a_3=-27$ . De Taylorreeks is dus $1-3x+9x^2-27x^3+...$ .

NB:
Als iedere keer de kettingregel vergeten is, is dat maximaal 3 punten.

F10 les 5: Contextopdrachten

Het doel van vandaag is om ook in een context om te kunnen gaan met breuken en wortels. Hiervoor ga je de volgende dingen doen:

Belangrijkste vaardigheden herhalen (30 minuten)
Je begint met een aantal sommen waarmee je kunt controleren of je de basis nog steeds kan van F10.
Contextsommen (35 minuten)
We bespreken een contextsom over wortels en breuken. Vervolgens maak je zelf een aantal contextsommen die oplopend zijn in moeilijkheidsgraad.
Oefenen voor toets (15 minuten)
Volgende les is de laatste les voor de toets. Hierin begin je met een testje of je alle basisvaardigheden al beheerst. Het is daarvoor nuttig om van tevoren alles al te oefenen. In de laatste 15 minuten laat ik zien waar je dit kunt oefenen en begin je met het voorbereiden op deze oefentoets.

Pagina's: 1234

Wiskunde in PC – oefentoets

Python

Opdracht 1:
In dit programma leest je programma twee gehele getallen op één regel met daartussen een spatie van de input. De output van het programma moet de som van deze twee getallen zijn.
Voorbeeld input:
7 11
Voorbeeld output:
18

Uitwerking:

Je moet hier de getallen inlezen op één regel. Daarvoor gebruik je input().split(). Vervolgens wil je deze omzetten naar integers en dan optellen. Dat kan op de volgende manier:

getallen = input().split()
getal1 = int(getallen[0])
getal2 = int(getallen[1])
print(getal1+getal2)

Als je het op een andere manier gedaan hebt, kun je jouw antwoord controleren door hem in te typen bij de opdracht Add two numbers op Kattis.

Opdracht 2:
In Engeland kun je zes cijfers halen voor een toets: van A (het beste), B, C, D, E tot F (het slechtse). Je programma leest op de eerste regel 5 getallen in die de grens aangeven hoeveel procent je minstens moet halen om respectievelijk een A, B, C, D of E te halen. Op regel 2 staat één getal dat aangeeft hoeveel procent jij gehaald hebt. Schrijf een programma dat als output geeft welk cijfer je gehaald hebt.
Voorbeeld input:
90 89 70 60 50
40
Voorbeeld output:
F

Uitwerking

Bij deze opdracht moeten we eerst weer de grenzen inlezen met input().split(). Vervolgens wil je van deze grenzen weer getallen maken. Dat kan door eerst vijf regels met a=int(grenzen[0]), b=int(grenzen[1]), etcetera te maken, maar omdat je ze toch maar één keer gebruikt, kun je op de plaatsen waar je later a, b, … zou gebruiken ook gewoon int(grenzen[0]) neerzetten.

In het vervolg gebruik je if-statements om te testen wat je als output moet geven. Dat kan bijvoorbeeld op de volgende manier.

grenzen = input().split()
waarde = int(input())
if waarde >= int(grenzen[0]):
    print("A")
elif waarde >= int(grenzen[1]):
    print("B")
elif waarde >= int(grenzen[2]):
    print("C")
elif waarde >= int(grenzen[3]):
    print("D")
elif waarde >= int(grenzen[4]):
    print("E")
else:
    print("F")

Als je een ander antwoord hebt en wilt controleren of die correct is, kun je deze in Kattis je antwoord testen bij de Kattis-opdracht Grading.

Opdracht 3:
Je programma krijgt als input een regel met daarop de vijf getallen 1 t/m 5 in willekeurige volgorde (met daartussen weer spaties). Je programma moet deze getallen via de volgende stappen sorteren:
Stap 1: Als het getal op plek 1 groter is dan het getal op plek 2 verwissel je deze getallen.
Stap 2: Als het getal op plek 2 groter is dan het getal op plek 3 verwissel je deze getallen.
Stap 3: Als het getal op plek 3 groter is dan het getal op plek 4 verwissel je deze getallen.
Stap 4: Als het getal op plek 4 groter is dan het getal op plek 5 verwissel je deze getallen.
Stap 5; Als de getallen nog niet in de volgorde 1, 2, 3, 4, 5 staan, ga je terug naar stap 1.
Schrijf een programma dat dit algoritme uitvoert waarbij de positie van de deeltjes na iedere verwisseling geprint worden.
Voorbeeld input:
2 1 5 3 4
Voorbeeld output:
1 2 5 3 4
1 2 3 5 4
1 2 3 4 5

Uitwerking:

We moeten eerst weer getallen inlezen. Aangezien we de getallen dit keer vaker nodig hebben, is het handig om ze los in variabelen te zetten. Vervolgens voeren we stap 1 tot en met stap 4 een aantal keer achter elkaar uit. Bij dit algoritme is het zo dat na de eerste keer stap 1 tot en met 4 je al zeker weet dat het grootste getal op de laatste plaats staat (waarom?). Na de tweede keer weet je dat het opeennagrootste getal op de eennalaatste plaats staat, enzovoort. Dus na vier keer de lijst doorlopen, moet de lijst helemaal geordend zijn. Dit kun je met de onderstaande for-loop voor elkaar krijgen:

getallen = input().split()
a = getallen[0]
b = getallen[1]
c = getallen[2]
d = getallen[3]
e = getallen[4]
for i in range(4):
    if a > b:
        a, b = b, a
        print(a, b, c, d, e)
    if b > c:
        b, c = c, b
        print(a, b, c, d, e)
    if c > d:
        c, d = d, c
        print(a, b, c, d, e)
    if d > e:
        d, e = e, d
        print(a, b, c, d, e)

Natuurlijk kun je in plaats daarvan ook steeds testen of de lijst al gesorteerd is. Als je een ander antwoord hebt, kun je bij de opdracht Mjehuric om te testen of je code klopt.

Programmeren met enen en nullen

Opdracht 4:
Schrijf in de programmeertaal met enen en nullen een programma dat als input een aantal positieve getallen (meer dan één) krijgt gevolgd door een nul. Als output moet je het getal 1 geven als de getallen van groot naar klein gesorteerd waren en het getal 0 als ze dat niet zijn.

Uitwerking:

Net als in de les moeten we hier ook bij iedere input (vanaf het tweede getal) twee logische tests doen:

Logische test 1:
Is de input 0? Als dat het geval is, moeten we het antwoord geven. Dit kun je op meerdere manieren doen. In mijn code heb ik ervoor gekozen om direct het antwoord 0 te geven als de lijst fout gesorteerd is en weet ik dus als ik een nul als input tegenkom dat de lijst goed gesorteerd is en ik een 1 als antwoord moet geven.

Logische test 2:
We moeten testen of de laatste input groter is dan de kleiner is dan de vorige. Dit doe ik in deze oplossing door de vorige input in reg1 te zetten en de laatste input in reg2. Ik test dan of reg1-reg2<0. Als dat zo is, gaan we door met het testen van de volgende getallen. Als dat niet zo is, geven we het antwoord 0 als output.

0: 10110001    # zet eerste input in reg1
1: 10110011    # zet input in reg3
2: 00100000    # zet het getal 32 in reg0
3: 11000001    # spring naar 32 als reg3=0
4: 10011010    # kopieer van reg3 naar reg2
5: 01000101    # zet reg1-reg2 in reg3
6: 10011001    # kopieer reg2 naar reg1
7: 00000001    # zet 1 in reg0
8: 11000110    # ga terug naar regel 1 als goed gesorteerd
9: 00100010    # zet 34 in reg0
10:11000100    # spring altijd naar regel 34
32:00000001    # zet het getal 1 in reg0
33:10000100    # zet het getal 1 in reg4
34:10000110    # Geef reg4 als antwoord

Hardware descripion language

Opdracht 5:
Maak een programma dat een output van 1 geeft als van de vier inputbits er minstens twee een 1 zijn. Anders moet hij een output van nul geven.
Input:
a, b, c, d
Output:
out

Uitwerking:

Een slome oplossing is om gewoon alle combinaties van twee inputs te testen en vervolgens met or’s te kijken of minstens één van die combinaties beide aanstaat. Deze oplossing staat hieronder.

And(a=a, b=b, out=ab);
And(a=a, a=c, out=ac);
And(a=a, b=d, out=ad);
And(a=b, a=c, out=bc);
And(a=b, b=d, out=bd);
And(a=c, a=d, out=cd);
Or(a=ab, b=ac, out=or1);
Or(a=or1, b=ad, out=or2);
Or(a=or2, b=bc, out=or3);
Or(a=or3, b=bd, out=or4);
Or(a=or4, b=cd, out=out);

Het kan op allemaal manieren sneller. Een manier is om te testen of (a en b) of (c en d) of (minstens één van a of b én minstens één van c of d) klopt. Controleer voor jezelf waarom dit voor alle combinaties van twee draden goedgaat. De code hiervan staat hieronder.

And(a=a, b=b, out=ab);
And(a=c, a=d, out=cd);
Or(a=a, b=b, out=aorb);
Or(a=c, b=d, out=cord);
AND(a=aorb, b=cord, out=ab_and_cd)
Or(a=ab, b=cd, out=or1);
Or(a=or1, b=ab_and_cd, out=out);

Complex les 9: Vervolg differentiaalvergelijkingen

Vorige les hebben je differentiaalvergelijkignen opgelost waarbij er in de vergelijking in iedere term $f(x)$ voorkwam. We starten met hier nog drie van op te lossen:

Opdracht 1:
Vind alle functies $f$ die voldoen aan $f'(x)=3f(x)$ .

Uitwerking:

De oplossing is $f(x)=c\cdot e^3x$ .

Opdracht 2:
Vind alle functies $g$ , zodat $g'(x)=5\cdot g(x)+2i\cdot g(x)$ .

Uitwerking:

Je schrijft de rechterkant eerst om naar de vorm $\text{functie}\cdot g(x)$ . Dat geeft in dit geval $g'(x)=(5+2i)\cdot g(x)$ . Het antwoord is daarom $g(x)=c\cdot e^{5x+2ix}$ , want de afgeleide van wat in de exponent staat, moet $5+2i$ zijn.

Opdracht 3:
Vind alle functies $h$ , zodat $h'(x)=\sin(x)h(x)+\frac{f(x)}{x}$ .

Uitwerking:

Je herschrijft eerst de differentiaalvergelijking naar de vorm $f'(x)=\text{functie}\cdot f(x)$ . Dat geeft $f'(x)=\sin(x)\cdot f(x)+\frac{1}{x}\cdot f(x)$ en dus $f'(x)=(\sin(x)+\frac{1}{x})\cdot f(x)$ . De oplossingen daarvan zijn $f(x)=c\cdot e^{-\cos(x)+ln|x|}$ .

Opdracht 4:
Vind alle functies $k$ die voldoen aan $k''(x)+5k'(x)-14k(x)=0$ .

Uitwerking:

Substitueren van $k(x)=c\cdot e^{ax}$ , $k'(x)=a\cdot c\cdot e^{ax}$ en $k''(x)=a^2\cdot c\cdot e^{ax}$ in $k''(x)+5k'(x)-14k(x)=0$ geeft $a^2\cdot c\cdot e^{ax}+7a\cdot c\cdot e^{ax}-14c\cdot e^{ax}=0$ . Delen door $c\cdot e^{ax}$ geeft de vergelijking $a^2+5a-14=0$ . Na ontbinden in factoren is dit $(a+7)(a-2)=0$ en dus $a=-7\vee a=2$ . In het algemeen is de oplossing dus $f(x)=c_1\cdot e^{-7x}+c_2\cdot e^{2x}$ .

Pagina's: 12345

Complex les 8: Differentiaalvergelijkingen

Een differentiaalvergelijiking is een vergelijking die een verband aangeeft tussen een functie $f(x)$ en zijn afgeleides. Voorbeelden van differentiaalvergelijkingen zijn:

$f'(x)=3f(x)$
$f'(x)=x\cdot f(x)+\frac{f(x)}{3}$
$f''(x)+8f'(x)+15f(x)=0$

Het doel van dit soort differentiaalvergelijkingen is altijd om alle functies $f(x)$ te vinden die aan deze vergelijking voldoen. Vandaag ga je leren hoe je al deze vragen oplost.

Pagina's: 123456

Wiskunde in de pc les 11: Programmeren op papier

De toets over deze module zal bestaan uit een aantal programmeeropdrachten die je op papier moet uitwerken. Daarbij moet je in de volgende talen kunnen programmeren:

Python (van les 8 t/m 11)
Computertaal met nullen en enen (les 6 en 7)
Hardware Description Language (van les 1 t/m 5)

In deze laatste twee lessen voor de toets zullen we dus dit nog een keer oefenen met vooral de focus op hoe werk je dit goed op papier uit.

Python

Op de toets krijg je de volgende spiekbrief erbij:

a+b            a plus b
a-b            a min b
a*b            a keer b
a**b           a tot de macht b
a/b            a gedeeld door b
a//b           a gedeeld door b naar beneden afgerond op gehelen
a%b            a modulo b (de rest bij deling van a door b)
a,b = b, a     Verwisseld a en b

a == b         Dit test of a en b dezelfde waarde hebben.
a > b          Dit test of a een grotere waarde dan b heeft.
a >= b         Dit test of a groter of gelijk is aan b.
a < b          Dit test of a kleiner dan b is.
a <= b         Dit test of a kleiner of gelijk aan b is.
a != b         Dit test of a ongelijk aan b is.
A or B         Uitkomst is waar als A en/of B waar is.
A and B        Uitkomst is waar als zowel A als B waar is.

print()        Dit geeft een output door aan de gebruiker.
input()        Dit leest een input in.
range(a,b,c)   Dit maakt een lijst getallen vanaf a tot b met steeds c verschil.
int()          Dit maakt van een waarde een geheel getal.
float()        Dit maakt van een waarde een kommagetal.
str()          Dit maakt van een waarde een stukje tekst.
for a in b:    Dit herhaalt de volgende regels code, waarbij a steeds een waarde heeft uit de lijst b.
break          Dit zorgt dat de lijst eindigt.
if a:          Als a True is, worden de ingesprongen regels uitgevoerd. 
else:          Als de if False is, worden de ingesprongen regels uitgevoerd.
elif a:        Een else- en if-statement ineen
or and         Je kunt de logische operatoren "or" en "and" ook gebruiken in een loop.

.split()       Splitst een regel in een lijst.
input().split() Splitst de input in een lijst
a[3]           Geeft waarde die op plek 3 van de lijst a staat.    
len(a)         Geeft het aantal elementen in lijst a.

Opdracht 1:
a) Schrijf een programma op papier dat twee getallen na elkaar inleest en de som van die getallen als output geeft.
b) Type je programma letterlijk over bij de opdracht leggjasaman en controleer of jouw code werkt.

Pagina's: 12345

Samenvattingsles F10

Je begint deze les met een testje of je alle kennis hebt met behulp van de onderstaande quiz. Aansluitend oefen je die vaardigheden die nog niet soepel gaan. Op het eind van de les test je dan of alle vaardigheden dan wel lukken.

Starttest

Opdracht 1a:
Noteer het gebied hieronder zowel als ongelijkheid als in de intervalnotatie.

Opdracht 1b:
Noteer het gebied hieronder zowel als ongelijkheid als in de intervalnotatie.

Opdracht 2:
Bereken het domein, bereik en asymptoten van $y=\frac{1}{4x-2}+8$ .

Opdracht 3a:
Bereken het domein, bereik en randpunt van $y=3\sqrt{4x-2}+8$ .

Opdracht 3b:
Bereken het domein, bereik en randpunt van $y=\sqrt{9-x^2}$ .

Opdracht 4a:
Los $\frac{x^2+4x-21}{x^2-3x-28}=0$ op.

Opdracht 4b:
Los $\frac{x+5}{x-3}=\frac{x+11}{x-7}$ op.

Opdracht 4c:
Los $\sqrt{x+3}=3-x$ op.

Pagina's: 123456

Samenvattingsles Me5 (vanaf 5.2) en Me6

Zoals je weet gaat de toets over de volgende onderwerpen:

Cirkels (Me5)
Transformaties (Me6)
Paar bonusvragen over de krachttraining vergelijkingen en differentiëren (voor +0,5 bonus)

In de vorige les heb je alle vaardigheden uit Me5 t/m 5.1 herhaald. Vandaag ga je de overige vaardigheden uit Me5 en Me6 herhalen. Zodra je klaar bent, kun je de oefentoets van meneer Dames op Liber maken.

5.2 Afstand tussen cirkels

Opdracht 1:
Bereken de afstand tussen $c_1: (x-3)^2+(y-5)^2=4$ en $c_2: (x-7)^2+(y+3)^2=9$ .

Uitwerking:

De straal van $(x-3)^2+(y-5)^2=4$ is $r_1=2$ en het middelpunt is $M(3,5)$ . Van de andere cirkel $(x-7)^2+(y+3)^2=9$ is het middelpunt $N(7, -3)$ en de straal $r_2=3$ . De afstand tussen de middelpunten, berekenen we met Pythagoras $MN=\sqrt{(7-3)^2+(-3-5)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ . Zoals we in de afbeelding hieronder kunnen zien, is de afstand tussen de cirkels nu de afstanden min de middelpunten min de twee stralen. Dat geeft $d(c_1, c_2)= 4\sqrt{5} - 3-2=4\sqrt{5}-5$ .

Opdracht 2:
Er zijn twee cirkels met een middelpunt van $(3, 4)$ die op een afstand van 1 liggen tot $x^2+y^2=4$ . Bereken de stralen van deze twee cirkels.

Uitwerking:

De twee situaties zie je in de afbeelding hieronder. De cirkel kan er dus omheen zitten of de twee cirkels kunnen los van elkaar zitten.

De afstand tussen de middelpunten $M(3,4)$ en $N(0,0)$ is $MN=\sqrt{3^2+4^2}=5$ . De straal van de cirkel $x^2+y^2=4$ is $r=\sqrt{4}=2$ . Noem nu $R$ de straal van de cirkel min middelpunt $M(3,4)$

Er zijn nu twee mogelijke situaties. De eerste situatie is dat de grote cirkel om de kleine cirkel heen zit. De afstand tussen de cirkels is dan $R-MN-r = R-5-2=R-7$ . Om een afstand van 1 te krijgen, hebben we $R-7=1$ oftewel $R=8$ .

De tweede situatie is het plaatje waarin de cirkels los liggen. Dan is de afstand $MN-r-R=5-2-R=3-R$ . Om een afstand van 1 te krijgen, hebben we $3-R=1$ . Dat geeft $R=3-1=2$ . De mogelijke stralen zijn $R=2$ en $R=8$ .

Pagina's: 123456789

Herhalingsles complexe getallen

De toets zal bestaan uit vier onderwerpen:

Het oplossen van een derdegraadsvergelijking
Op de toets zal ik lief zijn en een derdegraadsvergelijking kiezen waarbij alle tussenantwoorden op mooie gehele getallen uitkomen. Wel moet je natuurlijk de vergelijking met de stappen oplossen waarmee je iedere derdegraads vergelijking exact kunt oplossen.
Oplossen van differentiaalvergelijkingen
Je zult enkele differentiaalvergelijkingen moeten oplossen.
Taylorreeksen rond x=0
Je moet (de eerste termen van) een machtreeks kunnen bepalen.
Basisvaardigheden complexe getallen
Je krijgt enkele basisvaardighedenvragen over complexe getallen.

In deze les lopen we al deze onderwerpen die je moet beheersen nog een keer langs.

Deel 1: Derdegraadsvergelijking

Opdracht 1:
Los $x^3+3x^2-9x-76=0$ exact op.

Pagina's: 123456