Les 9: particuliere oplossing – Pagina 5

Niet lineaire particuliere delen

Bij de volgende vragen is het particuliere deel niet lineair. Blijf daarbij particuliere oplossingen gokken die zoveel mogelijk lijken op $\text{constante}\cdot (\text{particuliere deel})$ .

Opdracht 6a:
Vind alle functies $k$ die een oplossing zijn van $k'(x)=4k(x)+e^{2x}$ .

Uitwerking:

De homogene vergelijking is $k'(x)=4k(x)$ . De oplossing daarvan is $k(x)=c\cdot e^{4x}$ .

Het particuliere stuk van de vergelijking is $e^{2x}$ . Als particuliere oplossing gokken we daarom $k(x)=c\cdot e^{2x}$ . Dit en [laetx]k'(x)=2c\cdot e^{2x}[/latex] substitueren in $k'(x)=4k(x)+e^{2x}$ geeft $2c\cdot e^{2x}=4c\cdot e^{2x}+e^{2x}$ . Delen door $e^{2x}$ geeft $2c=4c+1$ . Dit lost op door $-2c=1$ en $c=-\frac{1}{2}$ . De particuliere oplossing is dus $y=-\frac{1}{2}e^{2x}$ .

De algemene oplossing wordt daarmee $y=-\frac{1}{2}e^{2x}+c\cdot e^{4x}$ .

Opdracht 6b:
Vind alle functies $l$ die een oplossing zijn van $l'(x)=3l(x)+x+e^x$ .

Uitwerking:

De homogene vergelijking is $l'(x)=3l(x)$ . De oplossing daarvan is $l(x)=c\cdot e^{3x}$ .

Het particuliere stuk van de vergelijking iets lineairs plus iets exponentieels. De particuliere oplossing is daarom ook van die vorm $l(x)=ax+b+c\cdot e^{x}$ . Dit en $l'(x)=a+c\cdot e^{x}$ substitueren in $l'(x)=3l(x)+x+e^x$ geeft $a+c\cdot e^{x}=3(ax+b+c\cdot e^{x})+x+e^x$ . Haakjes uitwerken en alles naar één kant halen geeft $3ax+3b+3c\cdot e^{x}+x+e^x-a-c\cdot e^{x}=0$ . Dit geeft $(3a+1)x+(3b-a)+(2c+1)e^x=0$ . De linkerkant is alleen nul als $\biggr\{\begin{matrix}3a+1=0\\ 3b-a=0 \\ 2c+1=0 \end{matrix}\.$ . Uit $3a+1=0$ volgt $a=-\frac{1}{3}$ . Dit invullen in $3b-a=0$ geeft $3b+\frac{1}{3}=0$ en dus $3b=-\frac{1}{3}$ en $b=-\frac{1}{9}$ . Tot slot geeft $2c+1=0$ nog $c=-\frac{1}{2}$ . De oplossing is dus $l(x)=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}-\frac{1}{2}e^{x}$ .

De algemene oplossing is dus $l(x)=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}-\frac{1}{2}e^{x}+c\cdot e^{3x}$ .

Opdracht 6c:
Vind alle $m$ die een oplossing zijn van $m'(x)=m(x)+x^2$ .

Uitwerking:

De homogene vergelijking is $m'(x)=m(x)$ . De oplossing daarvan is $m(x)=c\cdot e^{x}$ .

Het particuliere stuk van de vergelijking is kwadratisch. Als particuliere oplossing proberen we daarom $m(x)=ax^2+bx+c$ . Dit en $f'(x)=2ax+b$ substitueren in $m'(x)=m(x)+x^2$ geeft $2ax+b=ax^2+bx+c+x^2$ . Alles naar één kant halen en $x^2$ en $x$ buiten haakjes halen, geeft $(a+1)x^2+(b-2a)x+(c-b)=0$ . Dit kan alleen kloppen als er aan de linkerkant 0 staat. Dat is het geval als $\biggr\{\begin{matrix}a+1=0\\ b-2a=0\\ c-b=0\end{matrix}\.$ .

Uit $a+1=0$ haal je $a=-1$ . Dit invullen in $b-2a=0$ geeft $b+2=0$ en dus $b=-2$ . Dat weer invullen in $c-b=0$ geeft $c+2=0$ en dus $c=-2$ . De particuliere oplossing wordt daarmee $m(x)=-x^2-2x-2$ .

De algemene oplossing wordt daarmee $y=-x^2-2x-2+c\cdot e^{x}$ .

Pagina's: 12345