Les 9: particuliere oplossing – Pagina 3

Particuliere differentiaalvergelijking

Op de vorige pagina heb je bij de vraag gezien dat je een vergelijking als $f'(x)=2f(x)-2$ met de volgende stappen kunt oplossen:

Stap 1: Homogene differentiaalvergelijking
Los het stuk van de differentiaalvergelijking op waarbij je alleen de termen meeneemt waarin $f(x)$ of een van zijn afgeleiden voorkomt. Dit noemen we de homogene oplossing.

Stap 2: Particuliere oplossing
Zoek één functie $f$ die de oplossing is van de hele differentiaalvergelijking. Dit noemen we de particuliere oplossing.

Stap 3: Algemene oplossing
De algemene oplossing (dus: alle oplossingen) is de som van de homogene en particuliere oplossing.

Voor de particuliere oplossing moet je op zoek gaan naar een functie die de vergelijking oplost. Hiervoor moet je eerst een vorm gokken van de functie. De tip hierbij is dat de vorm van de particuliere differentiaalvergelijking lijkt op het particuliere stuk (dat is het stuk waar $f(x)$ en $f'(x)$ niet in voorkomen) van de vergelijking. Zo was in het voorbeeld $f'(x)=2f(x)-2$ het particuliere stuk $-2$ en probeerden we dus een functie van de vorm $f(x)=c$ .

Opdracht 3:
Vind alle functies $f$ die een oplossing zijn van $f'(x)=5f(x)-10$ .

Uitwerking:

De homogene vergelijking is $f'(x)=f(x)$ . De oplossing daarvan is $f(x)=c\cdot e^{5x}$ .

Het particuliere stuk van de vergelijking (-6) is een constante. Als particuliere oplossing gokken we daarom $f(x)=c$ . Dit en $f'(x)=0$ substitueren in $f'(x)=5f(x)-10$ geeft $0=5c-10$ . Dit oplossen geeft $5c=10$ en vervolgens $c=2$ . De particuliere oplossing is dus $y=2$ .

De algemene oplossing wordt daarmee $y=c\cdot e^{5x}+2$ .

Opdracht 4:
In deze opgave gaan we $g'(x)=3g(x)+6x+9$ oplossen.
a) Wat is het particuliere stuk van deze vergelijking?
b) Welke vorm verwacht je dat de particuliere oplossing zal hebben?
c) Los de homogene differentiaalvergelijking op.
d) Laat door substitueren zien dat $g(x)=ax+b$ alleen een oplossing van $g'(x)=3g(x)+6x+9$ is als $\biggr\{\begin{matrix}3a+6=0\\ 3b+9-a=0\end{matrix}\.$ .
e) Los nu de differentiaalvergelijking verder op.

Uitwerking 4a:

Het particuliere stuk is $6x+9$ .

Uitwerking 4b:

Het particuliere stuk is lineair. De verwachting is dat de particuliere oplossing dat ook is. We moeten dus $f(x)=ax+b$ proberen.

Uitwerking 4c:

Het homogene stuk is $g'(x)=3g(x)$ . Dat geeft $g(x)=c\cdot e^{3x}$ .

Uitwerking 4d:

Als particuliere oplossing gokken we $g(x)=ax+b$ en dus $g'(x)=a$ . Dit substitueren geeft $a=3(ax+b)+6x+9$ . Dat geeft $a=3ax+3b+6x+9$ . Als we alle termen naar één kant halen en de $x$ buiten haakjes halen, krijgen we $(3a+6)x+(3b+9-a)=0$ . Dit moet voor iedere $x$ kloppen. Dat kan alleen als aan de linkerkant alle termen wegvallen en dus $\biggr\{\begin{matrix}3a+6=0\\ 3b+9-a=0\end{matrix}\.$ geldt.

Uitwerking 4e:

Uit $3a+6=0$ halen we $3a=-6$ en vervolgens $a=-2$ . Dit invullen in de andere vergelijking geeft $3b+9+2=0$ en dus $3b=-11$ en $b=-\frac{11}{3}$ . De particuliere oplossing is dus $y=-2x-\frac{11}{3}$ .

De algemene oplossing wordt $y=c\cdot e^{3x}-2x-\frac{11}{3}$ .

Pagina's: 12345