Les 9: particuliere oplossing – Pagina 4

Particuliere differentiaalvergelijking

Bij de volgende twee opdrachten is het particuliere deel ook lineair. Die pak je dus op dezelfde manier aan als de vorige opdracht.

Opdracht 5a:
Vind alle functies $f$ die een oplossing zijn van $f'(x)=7f(x)-14x-7$ .

Uitwerking:

De homogene vergelijking is $f'(x)=7f(x)$ . De oplossing daarvan is $f(x)=c\cdot e^{7x}$ .

Het particuliere stuk van de vergelijking (-14x-7) is lineair. Als particuliere oplossing gokken we daarom $f(x)=ax+b$ . Dit en $f'(x)=a$ substitueren in $f'(x)=7f(x)-14x-7$ geeft $a=7(ax+b)-14x-7$ . Haakjes uitwerken geeft $7ax+7b-14x-7-a=0$ . Vervolgens $x$ buiten haakjes halen, geeft $(7a-14)x+(7b-7-a)=0$ . Dit kan alleen kloppen als er aan de linkerkant 0 staat. Dat is het geval als $\biggr\{\begin{matrix}7a-14=0\\ 7b-7-a=0\end{matrix}\.$ .

Uit $7a-14=0$ haal je $7a=14$ en dus $a=2$ . Dit substitueren in de andere vergelijking geeft $7b-7-2=0$ en dus $7b=9$ en $b=\frac{9}{7}$ . De particuliere oplossing is dus $y=2x+\frac{9}{7}$ .

De algemene oplossing wordt daarmee $y=2x+\frac{9}{7}+c\cdot e^{7x}$ .

Opdracht 5b:
Vind alle functies $h$ die een oplossing zijn van $h'(x)=2h(x)+4x$ .

Uitwerking:

De homogene vergelijking is $h'(x)=2h(x)$ . De oplossing daarvan is $f(x)=c\cdot e^{2x}$ .

Het particuliere stuk van de vergelijking (4x) is lineair. Als particuliere oplossing gokken we daarom $h(x)=ax+b$ . Merk op dat $h(x)=ax$ niet gaat werken, omdat er dan in de afgeleide $h'(x)=a$ een constante komt te staan die nergens tegen kan wegvallen.

Na substitueren van $h(x)=ax+b$ en $h'(x)=a$ in $h'(x)=2hx+4x$ krijg je $a=2(ax+b)+4x$ . Haakjes uitwerken geeft $2ax+2b+4x-a=0$ . Vervolgens $x$ buiten haakjes halen, geeft $(2a+4)x+(2b-a)=0$ . Dit kan alleen kloppen als er aan de linkerkant 0 staat. Dat is het geval als $\biggr\{\begin{matrix}2a+4=0\\ 2b-a=0\end{matrix}\.$ .

Uit $2a+4=0$ haal je $2a=-4$ en dus $a=-2$ . Dit substitueren in de andere vergelijking geeft $2b+2=0$ en dus $2b=-2$ en $b=-1$ . De particuliere oplossing is dus $y=-2x-1$ .

De algemene oplossing wordt daarmee $y=-2x-1+c\cdot e^{7x}$ .

Pagina's: 12345