Les 8: differentiaalvergelijking – Pagina 6

Tweede orde differentiaalvergelijkingen

In een tweede orde differentiaalvergelijking komt naast $f(x)$ en $f'(x)$ ook de tweede afgeleide $f''(x)$ voor. We bekijken in deze les alleen de simpelste vorm tweede orde differentiaalvergelijkingen waarvan de oplossingen van de vorm $f(x)=c_1\cdot e^{a_1x}+c_2\cdot e^{a_2x}$ zijn. Om te kijken wat de waarden van $a_1$ en $a_2$ zijn, substitueer je $f(x)=c\cdot e^{ax}$ in de differentiaalvergelijking en bepaal je voor welke waarden van $a$ en $b$ dit voor iedere $x$ klopt.

Opdracht 6:
In deze opdracht ga je in een paar stappen de differentiaalvergelijking $f''(x)+5f'(x)+6f(x)=0$ oplossen.
a) Wat substitueer je voor $f'(x)$ en $f''(x)$ als je $f(x)=c\cdot e^{ax}$ wilt substitueren?
b) Maak deze substituties en leidt hieruit af dat $a^2+5a+6=0$ .
c) Leidt hieruit af dat $f(x)=c\cdot e^{-3x}$ en $f(x)=c\cdot e^{-2x}$ oplossingen zijn van de beginvergelijking.
d) Controleer door $f(x)=c_1\cdot e^{-3x}+c_2\cdot e^{-2x}$ te substitueren in $f''(x)+5f'(x)+6f(x)=0$ dat al deze oplossingen voldoen.

Uitwerking 6a:

Je moet voor $f'(x)$ dan de afgeleide van $f(x)=c\cdot e^{ax}$ substitueren. Dat is $f'(x)=a\cdot c\cdot e^{ax}$ . Voor $f''(x)$ substitueer je weer de afgeleide daarvan. Dat is $f''(x)=a^2\cdot c\cdot e^{ax}$ .

Uitwerking 6b:

Substitueren van de $f(x)$ , $f'(x)$ en $f''(x)$ uit opdracht 5a in $f''(x)+5f'(x)+6f(x)=0$ geeft $a^2\cdot c\cdot e^{ax}+5a\cdot c\cdot e^{ax}+6c\cdot e^{ax}=0$ . Aangezien $c\cdot e^{ax}$ geen nul kan zijn, mag je deze wegdelen. Dat geeft $a^2+5a+6=0$ .

Uitwerking 6c:

Ontbinden in factoren van $a^2+5a+6=0$ geeft $(a+3)(a+2)=0$ en dus $a=-3\vee a=-2$ . De mogelijke oplossingen van de vorm $f(x)=c\cdot e^{ax}$ zijn dus alleen $f(x)=c\cdot e^{-2x}$ en $f(x)=c\cdot e^{-3x}$ .

Uitwerking 6d:

In deze opdracht wordt eigenlijk beweerd dat je alle mogelijke oplossingen krijgt door de oplossingen uit opdracht 5c bij elkaar op te tellen. Door invullen kunnen we controleren of dit klopt. Hiervoor substitueren we $f(x)=c_1\cdot e^{-3x}+c_2\cdot e^{-2x}$ , $f'(x)=-3c_1\cdot e^{-3x}-2c_2\cdot e^{-2x}$ en $f''(x)=9c_1\cdot e^{-3x}+4c_2\cdot e^{-2x}$ in $f''(x)+5f'(x)+6f(x)=0$ geeft $9c_1\cdot e^{-3x}+4c_2\cdot e^{-2x}+5(-3c_1\cdot e^{-3x}-2c_2\cdot e^{-2x})+6(c_1\cdot e^{-3x}+c_2\cdot e^{-2x})=0$ .

Als je haakjes uitwerkt, zie je dat er inderdaad $0=0$ komt te staan en dat de algemene oplossing dus voldoet.

Pagina's: 1234567