Les 8: differentiaalvergelijking – Pagina 4

Eerste orde differentiaalvergelijkingen

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin zowel de functie $f(x)$ als de afgeleide $f'(x)$ voorkomt. In de volgende opdrachten denk je zelf na over hoe de oplossingen er uitzien.

Opdracht 4a:
Vind alle functies $f$ , zodat $f'(x)=f(x)$ .

Uitwerking:

We weten dat $f(x)=e^x$ als afgeleide zichzelf heeft. Dat geldt ook voor veelvouden van $e^x$ , zoals $f(x)=2e^x$ . In het algemeen zijn alle functies van de vorm $f(x)=c\cdot e^x$ dus oplossingen van de differentiaalvergelijking.

Opdracht 4b:
Vind alle functies $g$ , zodat $g'(x)=5g(x)$ .

Uitwerking:

De functies $g(x)=c\cdot e^{5x}$ werken. De afgeleide daarvan is immers $g'(x)=5\cdot c\cdot e^{5x} = 5g(x)$ . We zien dus dat het antwoord van de vorm $g(x)=c\cdot e^{p(x)}$ is, waarbij $p(x)$ een functie is die als afgeleide 5 heeft, zodat we met de kettingregel $g'(x)=5g(x)$ krijgen.

Opdracht 4c:
Vind alle functies $h$ , zodat $h'(x)=2x\cdot h(x)$ .

Uitwerking:

Net als bij de vorige vragen is het antwoord weer een functie van de vorm $h(x)=c\cdot e^{p(x)}$ . Dit keer moet de afgeleide van $p(x)$ gelijk zijn aan $2x$ om $h'(x)=2x\cdot h(x)$ met de kettingregel te krijgen. Dat geeft als antwoord de functies $h(x)=c\cdot e^{(x^2)}$ .

Pagina's: 1234567