Meetkunde gemengd – Pagina 9

Druppel

De kromme $K$ wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:

$\begin{cases}x(t)=\sin(t)\cdot(\cos(t)-1)\\ y(t)=\cos(t)\end{cases}\quad\quad\text{ met } 0\leq t\leq 2\pi$

Deze kromme is weergegeven in de figuur.

In drie punten van deze kromme loopt de raaklijn aan de kromme verticaal.

Opdracht 3: (6 punten)
Bereken exact de coördinaten van deze drie punten.

Formuleblad:

Aanpak:

De raaklijn kan alleen verticaal lopen als er geen horizontale beweging is. Dat gebeurt als $x'(t)=0$ . Deze vergelijking lossen we daarom op. Dat geeft de waarden $t=0 \vee t=\frac{2}{3}\pi\vee t=1\frac{1}{3}\pi\vee t=2\pi$ . Hierbij horen $t=0$ en $t=2\pi$ bij hetzelfde punt, want de periode van de bewegingsvergelijking is $2\pi$ .

Hierboven zien we dat er maar drie punten zijn waar $x'(t)=0$ . Aangezien er in de vraag staat dat er in drie punten een verticale raaklijn is. Daaruit mag je halen dat al deze punten ook voldoen. Ga er op het examen altijd vanuit dat de vraag correct is en schrijf in dit geval dus alle drie de oplossingen hierbij op.

Fout in boeken over verticale raaklijnen:

Deze vraag heeft een hoop stof doen opwaaien, omdat er iets incorrects in zo’n beetje alle schoolboeken staat. Daarin staat namelijk dat een baan verticaal loopt als $x'(t)=0$ en $y'(t)\neq 0$ . De logica hierachter is dat een baan alleen verticaal kan lopen als er geen horizontale beweging is (vandaar de $x'(t)=0$ ) en het deeltje bovendien niet stil staat (vandaar de $y'(t)\neq 0$ ). Feitelijk is het echter zo dat als $x'(t)=0$ en $y'(t)=0$ de raaklijn in dat punt iedere richting nog kan hebben.

Een correctere uitleg zou zijn dat de raaklijn verticaal loopt als de formule voor de helling $a=\frac{y'(t)}{x'(t)}$ een verticale asymptoot heeft. Zoals we geleerd hebben gebeurd dat als $x'(t)=0$ , behalve als er een perforatie is (die kan optreden bij $x'(t)=0\wedge y'(t)=0$ , maar dat hoeft niet).

Uitwerking met $\cos^2(t)-\sin^2(t)=\cos(2t)$ :

$x'(t)=\cos(t)(\cos(t)-1)+\sin(t)\cdot -\sin(t)$
$x'(t)=\cos^2(t)-\cos(t)-\sin^2(t)$
Een raaklijn kan alleen verticaal lopen als $x'(t)=0$ .
Dat geeft $\cos^2(t)-\sin^2(t)-\cos(t)=0$
Met behulp van de formule $\cos^2(t)-\sin^2(t)=\cos(2t)$ van het formuleblad wordt dit $\cos(2t)-\cos(t)=0$ .
$\cos(2t)=\cos(t)$
$2t=t+k\cdot 2\pi\vee 2t=-t+k\cdot 2\pi$
$t=k\cdot 2\pi \vee 3t=k\cdot 2\pi$
$t=k\cdot 2\pi\vee t=k\cdot \frac{2}{3}\pi$
Op $0\leq t\leq 2\pi$ geeft dat $t=0 \vee t=\frac{2}{3}\pi\vee t=1 \frac{1}{3}\pi\vee t=2\pi$ .
Aangezien $t=0$ en $t=2\pi$ bij hetzelfde punt horen (de kromme heeft een periode van $2\pi$ ) en er gegeven is dat er drie punten met een verticale raaklijn zijn, voldoen al deze oplossingen.
$\overrightarrow{s(t)}=\begin{pmatrix}\sin(t)\cdot(\cos(t)-1)\\ \cos(t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(0)}=\begin{pmatrix}\sin(0)\cdot(\cos(0)-1)\\ \cos(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(\frac{2}{3}\pi)}=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2}{3}\pi)\cdot(\cos(\frac{2}{3}\pi)-1)\\ \cos(\frac{2}{3}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot (-\frac{1}{2}-1)\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{4}\sqrt{3}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(1\frac{1}{3}\pi)}=\begin{pmatrix}\sin(1\frac{1}{3}\pi)\cdot(\cos(1\frac{1}{3}\pi)-1)\\ \cos(1\frac{1}{3}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot (-\frac{1}{2}-1)\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}\sqrt{3}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
Conclusie: De coördinaten van de punten waar de baan verticaal loopt, zijn $(0,1)$ , $(-\frac{3}{4}\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$ en $(\frac{3}{4}\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$ .

Uitwerking met $\sin(2t)=2\sin(t)\cos(t)$ :

Haakjes uitwerken geeft: $x(t)=\sin(t)\cos(t)-\sin(t)$
Met behulp van de formule $2\sin(t)\cos(t)=\sin(2t)$ (en dus $\sin(t)\cos(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)$ ) van het formuleblad wordt dit $x(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)-\sin(t)$ .
$x'(t)=\frac{1}{2}\cos(2t)\cdot 2-\cos(t)$
$x'(t)=\cos(2t)-\cos(t)$
Een raaklijn kan alleen verticaal lopen als $x'(t)=0$ .
Dat geeft $\cos(2t)-\cos(t)=0$
$\cos(2t)=\cos(t)$
$2t=t+k\cdot 2\pi\vee 2t=-t+k\cdot 2\pi$
$t=k\cdot 2\pi \vee 3t=k\cdot 2\pi$
$t=k\cdot 2\pi\vee t=k\cdot \frac{2}{3}\pi$
Op $0\leq t\leq 2\pi$ geeft dat $t=0 \vee t=\frac{2}{3}\pi\vee t=1 \frac{1}{3}\pi\vee t=2\pi$ .
Aangezien $t=0$ en $t=2\pi$ bij hetzelfde punt horen (de kromme heeft een periode van $2\pi$ ) en er gegeven is dat er drie punten met een verticale raaklijn zijn, voldoen al deze oplossingen.
$\overrightarrow{s(t)}=\begin{pmatrix}\sin(t)\cdot(\cos(t)-1)\\ \cos(t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(0)}=\begin{pmatrix}\sin(0)\cdot(\cos(0)-1)\\ \cos(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(\frac{2}{3}\pi)}=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2}{3}\pi)\cdot(\cos(\frac{2}{3}\pi)-1)\\ \cos(\frac{2}{3}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot (-\frac{1}{2}-1)\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{4}\sqrt{3}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(1\frac{1}{3}\pi)}=\begin{pmatrix}\sin(1\frac{1}{3}\pi)\cdot(\cos(1\frac{1}{3}\pi)-1)\\ \cos(1\frac{1}{3}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot (-\frac{1}{2}-1)\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}\sqrt{3}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
Conclusie: De coördinaten van de punten waar de baan verticaal loopt, zijn $(0,1)$ , $(-\frac{3}{4}\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$ en $(\frac{3}{4}\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$ .

Uitwerking met $\sin^2(t)+\cos^2(t)=1$ :

$x'(t)=\cos(t)(\cos(t)-1)+\sin(t)\cdot -\sin(t)$
$x'(t)=\cos^2(t)-\cos(t)-\sin^2(t)$
Een raaklijn kan alleen verticaal lopen als $x'(t)=0$ .
Dat geeft $\cos^2(t)-\cos(t)-\sin^2(t)=0$
Met behulp van de formule $\sin^2(t)=1-\cos^2(t)$ wordt dit $\cos^2(t)-\cos(t)-(1-\cos^2(t))=0$
$\cos^2(t)-\cos(t)-1+\cos^2(t)=0$
$2\cos^2(t)-\cos(t)-1=0$
Substitutie van $u=\cos(t)$ geeft $2u^2-u-1=0$
$u^2-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}=0$
$(u-1)(u+\frac{1}{2})=0$
$u=1\vee u=-\frac{1}{2}$
$\cos(t)=1\vee \cos(t)=-\frac{1}{2}$
$t=k\cdot 2\pi \vee t=\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee t=1\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi$
Op $0\leq t\leq 2\pi$ geeft dat $t=0\vee t=2\pi \vee t=\frac{2}{3}\pi\vee t=1 \frac{1}{3}\pi$
Aangezien $t=0$ en $t=2\pi$ bij hetzelfde punt horen (de kromme heeft een periode van $2\pi$ ) en er gegeven is dat er drie punten met een verticale raaklijn zijn, voldoen al deze oplossingen.
$\overrightarrow{s(t)}=\begin{pmatrix}\sin(t)\cdot(\cos(t)-1)\\ \cos(t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(0)}=\begin{pmatrix}\sin(0)\cdot(\cos(0)-1)\\ \cos(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(\frac{2}{3}\pi)}=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2}{3}\pi)\cdot(\cos(\frac{2}{3}\pi)-1)\\ \cos(\frac{2}{3}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot (-\frac{1}{2}-1)\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{4}\sqrt{3}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(1\frac{1}{3}\pi)}=\begin{pmatrix}\sin(1\frac{1}{3}\pi)\cdot(\cos(1\frac{1}{3}\pi)-1)\\ \cos(1\frac{1}{3}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot (-\frac{1}{2}-1)\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}\sqrt{3}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
Conclusie: De coördinaten van de punten waar de baan verticaal loopt, zijn $(0,1)$ , $(-\frac{3}{4}\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$ en $(\frac{3}{4}\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$ .

Voor de punten op kromme $K$ geldt $x^2=-y^4+2y^3-2y+1$ .

Opdracht 4: (4 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

De gemakkelijkste manier om dit type vragen op te lossen, is om $x(t)=\sin(t)\cdot(\cos(t)-1)$ en $y(t)=\cos(t)$ in de vergelijking die je wilt aantonen in te vullen. Vervolgens ga je deze herschrijven totdat hij in de vorm $0=0$ staat. Die vergelijking is waar voor iedere $t$ en daardoor is de beginvergelijking die je wilt aantonen dat ook.

Uitwerking met vergelijking oplossen:

$\begin{cases}x(t)=\sin(t)\cdot(\cos(t)-1)\\ y(t)=\cos(t)\end{cases}\quad\quad\text{ met } 0\leq t\leq 2\pi$ invullen in $x^2=-y^4+2y^3-2y+1$ geeft
$\sin^2(t)\cdot(\cos(t)-1))^2=-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-2\cos(t)+1$
Aan de rechterkant staat alles in $\cos(t)$ . Daarom substitueren we aan de linkerkant $\sin^2(t)=1-\cos^2(t)$ :
$\(1-\cos^2(t)(\cos(t)-1))^2=-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-2\cos(t)+1$
$(1-\cos^2(t)(\cos^2(t)-2\cos(t)+1)=-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-2\cos(t)+1$
$\cos^2(t)-2\cos(t)+1-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-cos^2(t)=-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-2\cos(t)+1$
$-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-2\cos(t)+1=-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-2\cos(t)+1$
Dit geeft $0=0$ . Die vergelijking klopt altijd. Daarom geldt $x^2=-y^4+2y^3-2y+1$ voor ieder punt op de kromme.

Uitwerking met $x^2$ omschrijven:

$x^2=(\sin(t)\cdot(\cos(t)-1))^2$
$x^2=\sin^2(t)(\cos(t)-1)^2$
Substitueren van $\sin^2(t)=1-\cos^2(t)$ geeft:
$x^2=(1-\cos^2(t))(\cos(t)-1)^2$
Invullen van $y=\cos(t)$ geeft:
$x^2=(1-y^2)(y-1)^2$
$x^2=(1-y^2)(y^2-2y+1)$
$x^2=y^2-2y+1-y^4+2y^3-y^2$
$x^2=-y^4+2y^3-2y+1$

Kromme $K$ sluit een vlakdeel in dat symmetrisch is in de $y$ -as. Door dit vlakdeel te wentelen om de $y$ -as ontstaat een omwentelingslichaam in de vorm van een druppel.

Opdracht 5: (4 punten)
Bereken exact de inhoud van dit omwentelingslichaam.

Aanpak:

Bij wentelen om de $y$ -as gebruiken we altijd de formule $\text{Inhoud}=\int_{\text{minimale y}}^{\text{maximale y}}x^2\cdot \text{dy}$ .

Om deze formule te kunnen gebruiken, moeten we eerst weten wat de minimale en maximale $y$ zijn. Hiervoor kijken we naar de formule $y=\cos(t)$ . Deze cosinus heeft een amplitude van 1 en kan dus alleen waarden van -1 tot 1 aannemen. Daarom weten we dat $y_{\text{minimum}}= -1$ en $y_{\text{maximum}}=1$ .

Vervolgens moeten we voor deze opgave de integraal $I=\pi\cdot \int_{-1}^1 (-y^4+2y^3-2y+1)\text{ dy}$ berekenen (we hebben de formule voor $x^2$ die we bij de vorige vraag moesten bewijzen en dus hier nodig hebben) ingevuld).

Uitwerking:

De minimale waarde die $y=\cos(t)$ kan worden is $-1$ en de maximale waarde is $1$ .
$I=\pi\cdot \int_{-1}^1 x^2\text{ dy}$
$I=\pi\cdot \int_{-1}^1 (-y^4+2y^3-2y+1)\text{ dy}$
$I=\pi\cdot \left[-\frac{1}{5}y^5+\frac{1}{2}y^4-y^2+y\right]_{-1}^1$
$I=\pi\cdot (-\frac{1}{5}\cdot 1^5+\frac{1}{2}\cdot 1^4-1^2+1)-\pi\cdot (-\frac{1}{5}\cdot (-1)^5+\frac{1}{2}\cdot (-1)^4-(-1)^2-1)$
$I=\frac{3}{10}\pi +1\frac{3}{10}\pi = 1\frac{3}{5}\pi$

Pagina's: 1234567891011