Meetkunde gemengd – Pagina 11

Cirkels en lijnen

Voor $0\leq t\leq 2\pi$ beweegt een punt $P$ over een cirkelvormige baan $c_P$ met middelpunt $O(0,0)$ volgens de bewegingsvergelijkingen:

$\begin{cases}x_P(t)=2\cos(t)\\y_P(t)=2\sin(t)\end{cases}$

Voor $0\leq t \leq 2\pi$ beweegt tegelijkertijd een punt $Q$ over een cirkelvormige baan $c_Q$ volgens de bewegingsvergelijkingen:

$\begin{cases}x_Q(t)=2+\cos(t)\\ y_Q(t)=\sin(t)\end{cases}$

Hoek $POQ$ is afhankelijk van $t$ . In figuur 1 zijn beide cirkels $c_P$ en $c_Q$ weergegeven. Ook zijn de lijnstukken $OP$ en $OQ$ weergegeven voor een waarde van $t$ waarvoor $OP$ en $OQ$ loodrecht op elkaar staan.

Opdracht 11: (5 punten)
Bereken exact de waarden van $t$ waarvoor $OP$ en $OQ$ loodrecht op elkaar staan.

De lijn door $P$ en $Q$ snijdt de $x$ -as in punt $A$ . De $x$ -coördinaat van $A$ is onafhankelijk van $t$ .

Opdracht 12: (5 punten)
Bewijs dit.

Punt $M$ is het midden van lijnstuk $PQ$ . Op $t=0$ beginnen $P$ en $Q$ vanaf de $x$ -as naar boven te bewegen. Punt $M$ beweegt dan mee naar boven. In figuur 2, 3 en 4 is voor drie waarden van $t$ de situatie weergegeven.

Voor $t\approx 0{,}723$ ligt punt $M$ op cirkel $c_Q$ . Zie figuur 2.
Na $t\approx 0{,}723$ komt $M$ in het gebied buiten $c_Q$ te liggen. Zie figuur 3.
Op een zeker tijdstip ligt $M$ op cirkel $c_P$ . Zie figuur 4.
Punt $M$ ligt een percentage van de tijd waarin de punten $P$ en $Q$ een volledige baan doorlopen buiten $c_P$ en $c_Q$ .

Opdracht 13: (6 punten)
Bereken dit percentage. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Pagina's: 1234567891011