Meetkunde gemengd – Pagina 8

Twee punten

Gegeven zijn de punten $A(-2,3)$ en $B(6,7)$ .

In figuur 1 zijn op de $y$ -as de punten $P$ en $Q$ getekend waarvoor geldt dat $\angle APB=\angle AQB=90^{\circ}$ .

Opdracht 6: (6 punten)
Bereken exact de coördinaten van $P$ en $Q$ .

Aanpak:

Dit type vraag waarbij je een hoek van 90 graden hebt, kun je vrijwel altijd op vier manieren oplossen:

Volgens Pythagoras is $\angle APB=90^{\circ}$ als $AP^2+BP^2=AB^2$ .
Volgens Thales is $\angle APB=90^{\circ}$ als $P$ op de cirkel met middellijn $AB$ ligt.
De lijnen $AP$ en $BP$ staan loodrecht als $a_{AP}\cdot a_{BP}=-1$ .
De vectoren $\overrightarrow{AP}$ en $\overrightarrow{BP}$ staan loodrecht als $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=0$ .

Bij alle technieken behalve Thales is de truc om het $y$ -coördinaat van $P$ de naam $p$ te geven. Vervolgens druk je alles in het plaatje uit in $p$ totdat je de vergelijking krijgt waarmee je $p$ berekent. Merk op dat je hiermee twee waarden voor $p$ vindt waarbij de hoek 90 graden is. De tweede waarde van $p$ hoort dus bij het punt $Q$ .

Uitwerking met Pythagoras:

Noem $P(0,p)$
$AB^2=(6--2)^2+(7-3)^2=8^2+4^2=80$
$AP^2 =(0--2)^2+(p-3)^2=4+p^2-6p+9=p^2-6p+13$
$BP^2 =(0-6)^2+(p-7)^2=36+p^2-14p+49=p^2-14p+85$
Uit $AP^2+BP^2=AB^2$ volgt $p^2-6p+13+p^2-14p+85=80$
$2p^2-20p+18=0$
$p^2-10p+9=0$
$(p-9)(p-1)=0$
$p=9\vee p=1$
Conclusie: $P(0,9)$ en $Q(0,1)$

Uitwerking met Thales:

Volgens de stelling van Thales liggen $P$ en $Q$ op de cirkel met middellijn $AB$ .
Het punt halverwege $AB$ is $M(\frac{-2+6}{2}, \frac{3+7}{2})=(2,5)$ .
$AM=\sqrt{(2--2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$
De cirkel met middellijn $AB$ is $(x-2)^2+(y-5)^2=20$ .
Voor de snijpunten van deze cirkel met de $y$ -as geldt: $(0-2)^2+(y-5)^2=20$
$4+(y-5)^2=20$
$(y-5)^2=16$
$y-5=4\vee y-5=-4$
$y=9\vee y=1$
Conclusie: $P(0,9)$ en $Q(0,1)$

Uitwerking met richtingscoëfficiënten:

Noem $P(0,p)$
$a_{AP} =\frac{p-3}{0--2}=\frac{p-3}{2}$
$a_{BP} =\frac{p-7}{0-6}=\frac{p-7}{-6}$
Uit $a_{AP}\cdot a_{BP}=-1$ volgt $\frac{p-3}{2}\cdot \frac{p-7}{-6}=-1$
$\frac{(p-3)(p-7)}{-12}=-1$
$(p-3)(p-7)=12$
$p^2-10p+21=12$
$p^2-10p+9=0$
$(p-9)(p-1)=0$
$p=9\vee p=1$
Conclusie: $P(0,9)$ en $Q(0,1)$

Uitwerking met inwendig product:

Noem $P(0,p)$
$\overrightarrow{AP} =\begin{pmatrix}0\\p\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\p-3\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{BP} =\begin{pmatrix}0\\p\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\p-7\end{pmatrix}$
Uit $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=0$ volgt $\begin{pmatrix}2\\p-3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-6\\p-7\end{pmatrix}=0$
$2\cdot -6+(p-3)(p-7)=0$
$-12+p^2-10p+21=$
$p^2-10p+9=0$
$(p-9)(p-1)=0$
$p=9\vee p=1$
Conclusie: $P(0,9)$ en $Q(0,1)$

In figuur 2 is de lijn door $A$ en $B$ getekend. Ook is een cirkel getekend met middelpunt $M(-3,0)$ . Deze cirkel snijdt de lijn door $A$ en $B$ in de punten $R$ en $S$ met $RS=6\sqrt{5}$ .

Opdracht 7: (6 punten)
Bereken exact de straal van de cirkel.

Aanpak:

Bij dit soort vragen zijn er vaak twee type oplossingen:

Een oplossing waarbij je alles in het plaatje in één variabele uitdrukt totdat je een vergelijking hebt waarmee je de variabele kunt berekenen (in dit geval is die variabele de straal $r$ die we moeten berekenen).
Een mooiere oplossing waarvoor je iets slims moet zien.

Voor de oplossing waarin je alles in $r$ gaat uitdrukken, willen we uiteindelijk toewerken naar een uitdrukking van $RS$ in $r$ , omdat de lengte van $RS$ gegeven is. Hier kom je via de volgende stappen:

Stel een formule op van de cirkel met middelpunt $M(-3,0)$ en straal $r$ .
Stel de formule op van de lijn $AB$ .
Druk de $x$ -coördinaten van $R$ en $S$ uit in $r$ .
Druk de $y$ -coördinaten van $R$ en $S$ uit in $r$ .
Druk de afstand $RS$ uit in $r$ .
Stel de gevonden afstand gelijk aan $6\sqrt{5}$ die in de opgave gegeven is.

De mooiere oplossing krijg je door de stralen in te tekenen en dan te zoeken naar een rechthoekige driehoek die je kunt gebruiken (die is er vaak bij cirkelvragen). In het plaatje hieronder is deze al aangegeven. De opdracht is dan nog om de afstand van $M$ tot $T$ te berekenen. Dat kan met het stappenplan voor de afstand tussen een punt en een lijn.

Uitwerking met afstand $M$ tot $AB$ :

$a_{AB} =\frac{7-3}{6--2}=\frac{1}{2}$
$\left.\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x+b\\ (6,7)\end{matrix}\right\} \frac{1}{2}\cdot 6+b=7$
$b=4$ , dus $y=\frac{1}{2}x+4$
$a_{\text{loodlijn}}=\frac{-1}{\frac{1}{2}}=-2$
$\left.\begin{matrix}y=-2x+b\\ (-3,0)\end{matrix}\right\} y=-2\cdot -3+b=0$
$b=-6$ , dus $y=-2x-6$
Voor het snijpunt van $y=-2x-6$ en $y=\frac{1}{2}x+4$ geldt:
$\frac{1}{2}x+4=-2x-6$
$2\frac{1}{2}x=-10$
$x=-4$
Dit invullen in $y=-2x-6$ geeft $y=-2\cdot -4-6=2$ .
Het snijpunt is dus $T(-4,2)$
$d(M, \text{lijn AB})=\sqrt{(x_T-x_M)^2+(y_T-y_M)^2}$
$d(M, \text{lijn AB})=\sqrt{(-4--3)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$
$RT=\frac{1}{2}RS=3\sqrt{5}$
Met Pythagoras in driehoek $\triangle MRT$ geldt:
$MT^2+RT^2=M^2$
$(\sqrt{5})^2+(3\sqrt{5})^2=r^2$
$5+45=r^2$
$50=r^2$
$r=\sqrt{50}$

Uitwerking met snijpunten lijn en cirkel:

$a_{AB} =\frac{7-3}{6--2}=\frac{1}{2}$
$\left.\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x+b\\ (6,7)\end{matrix}\right\} \frac{1}{2}\cdot 6+b=7$
$b=4$ , dus $y=\frac{1}{2}x+4$
De formule van de cirkel is $(x+3)^2+y^2=r^2$
$\left.\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x+4\\ (x+3)^2+y^2=r^2 \end{matrix}\right\} (x+3)^2+(\frac{1}{2}x+4)^2=r^2$
$x^2+6x+9+\frac{1}{4}x^2+4x+16=r^2$
$4x^2+24x+36+x^2+16x+64=4r^2$
$5x^2+40x+100-4r^2=0$
$x^2+8x+20-\frac{4}{5}r^2=0$
$D=8^2-4\cdot 1\cdot(20-\frac{4}{5}r^2)=64-80+\frac{16}{5}r^2=\frac{16}{5}r^2-16$
$x=\frac{-8+\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}}{2\cdot 1}\vee x=\frac{-8-\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}}{2\cdot 1}$
$x_S=-4+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}\vee x_R=-4-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}$
$y_R=\frac{1}{2}x_R+4 = \frac{1}{2}(-4-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16})+4$
$y_R=-2-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}+4=2-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}$
$y_S=\frac{1}{2}x_S+4 = \frac{1}{2}(-4+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16})+4$
$y_S=-2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}+4=2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}$
$RS^2=(x_S-x_R)^2+(y_S-y_R)^2$
$RS^2=(-4+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}-(-4-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}))^2+(2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}-(2-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}))^2$
$RS^2=(\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16})^2+(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16})^2$
$RS^2=\frac{16}{5}r^2-16+\frac{1}{4}(\frac{16}{5}r^2-16})$
$RS^2=\frac{16}{5}r^2-16+\frac{4}{5}r^2-4$
$RS^2=4r^2-20$
We hebben ook $RS^2=(6\sqrt{5})^2=180$
Dus $4r^2-20=180$
$4r^2=200$
$r^2=50$
$r=\sqrt{50}$ (of een vereenvoudigde vorm als $5\sqrt{2}$ )

Uitwerking met alleen $x$ -coördinaten snijpunten lijn en cirkel:

$a_{AB} =\frac{7-3}{6--2}=\frac{1}{2}$
$\left.\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x+b\\ (6,7)\end{matrix}\right\} \frac{1}{2}\cdot 6+b=7$
$b=4$ , dus $y=\frac{1}{2}x+4$
De formule van de cirkel is $(x+3)^2+y^2=r^2$
$\left.\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x+4\\ (x+3)^2+y^2=r^2 \end{matrix}\right\} (x+3)^2+(\frac{1}{2}x+4)^2=r^2$
$x^2+6x+9+\frac{1}{4}x^2+4x+16=r^2$
$4x^2+24x+36+x^2+16x+64=4r^2$
$5x^2+40x+100-4r^2=0$
$x^2+8x+20-\frac{4}{5}r^2=0$
$D=8^2-4\cdot 1\cdot(20-\frac{4}{5}r^2)=64-80+\frac{16}{5}r^2=\frac{16}{5}r^2-16$
$x=\frac{-8+\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}}{2\cdot 1}\vee x=\frac{-8-\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}}{2\cdot 1}$
$x_S=-4+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}\vee x_R=-4-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}$
$x_S-x_R=-4+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}-(-4-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16})$
$x_S-x_R=\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}$
Aangezien de richtingscoëfficiënt van $RS$ gelijk is aan $\frac{1}{2}$ geldt $y_S-y_R=\frac{1}{2}(x_S-x_R)$
$y_S-y_R=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16}$
$RS^2=(x_S-x_R)^2+(y_S-y_R)^2$
$RS^2=(\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16})^2+(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}r^2-16})^2$
$RS^2=\frac{16}{5}r^2-16+\frac{1}{4}(\frac{16}{5}r^2-16})$
$RS^2=\frac{16}{5}r^2-16+\frac{4}{5}r^2-4$
$RS^2=4r^2-20$
We hebben ook $RS^2=(6\sqrt{5})^2=180$
Dus $4r^2-20=180$
$4r^2=200$
$r^2=50$
$r=\sqrt{50}$ (of een vereenvoudigde vorm als $5\sqrt{2}$ )

Pagina's: 1234567891011