Meetkunde gemengd – Pagina 7

Twee snijdende cirkels

Gegeven is cirkel $c_1$ met straal 1 en middelpunt $M$ . Op de cirkel ligt punt $N$ . Punt $N$ is het middelpunt van cirkel $c_2$ met straal $r$ waarbij $1<r<2$ .
De twee cirkels snijden elkaar in de punten $A$ en $B$ . Zie figuur 1, die ook op de uitwerkbijlage staat.

Lijn $MN$ snijdt cirkel $c_2$ in punt $C$ en lijnstuk $AB$ in punt $D$ . Lijnstuk $AB$ staat loodrecht op lijn $MN$ .

Er geldt $DN=\frac{1}{2}r^2$ .

Opdracht 6: (4 punten)
Bewijs dat inderdaad geldt $DN=\frac{1}{2}r^2$ . Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Aanpak:

Voor mijn gevoel worden dit soort opdrachten altijd eenvoudiger als je letters invoert voor de zijden in je plaatje. Daarbij geef ik altijd een naam aan de zijde die ik wil berekenen. In dit geval stel ik dus $DN=x$ . Vanaf daar is er altijd een oplossing waarmee je alle andere zaken in je plaatje in $x$ uitdrukt totdat je een zijde op twee manieren in $x$ uitgedrukt hebt en daarmee $x$ kunt berekenen.

De bovenstaande strategie is de tweede oplossing. De gemakkelijkere eerste oplossing krijg je door het inzicht dat de vergelijkingen eenvoudiger worden als je ook nog $AD=y$ stelt. Dit maakt het gemakkelijker, omdat je dan met Pythagoras in zowel $\triangle ADM$ als $\triangle ADN$ een vergelijking krijgt (en te gebruiken dat $DM=DN-MN=x-1$ ). De twee vergelijkingen samen geven een stelsel waarmee je de opgave kunt beantwoorden.

Uitwerking met stelsel van vergelijkingen:

Noem $DN=x$ en $AD=y$ .
Dan geldt met Pythagoras in $\triangle ADN$ dat $x^2+y^2=r^2$ .
Er geldt $DM=DN-MN=x-1$
Met Pythagoras in driehoek $\triangle ADM$ krijgen we $(x-1)^2+y^2=1^2$ .
De vergelijkingen aftrekken in $\begin{cases}(x-1)^2+y^2=1\\ x^2+y^2=r^2\end{cases}$ geeft $(x-1)-x^2=1-r^2$ .
$x^2-2x+1-x^2=1-r^2$
$-2x=-r^2$
$x=\frac{1}{2}r^2$

Uitwerking met hele plaatje in $x$ en $r$ uitdrukken:

Noem $DN=x$
Met Pythagoras in $\triangle ADN$ geldt dat $AC^2=r^2-x^2$ .
Met Pythagoras in $\triangle ADM$ geldt dat $DM^2=1-AC^2$
$DM^2=1-(r^2-x^2)$
$DM^2=1-r^2+x^2$
$DM=\sqrt{1-r^2+x^2}$
Uit $DM+MN=CN$ volgt nu $\sqrt{1-r^2+x^2}+1=x$
$\sqrt{1-r^2+x^2}=x-1$
Kwadrateren geeft $1-r^2+x^2=x^2-2x+1$ .
$2x=r^2$
$x=\frac{1}{2}r^2$

Je kunt de waarde van $r$ zo kiezen dat $CD$ en $DM$ even lang zijn. Dan ontstaat de situatie in figuur 2, die ook op de uitwerkbijlage staat.

Opdracht 7: (4 punten)
Bereken exact deze waarde van $r$ . Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Aanpak:

Dit is weer zo’n opgave waar je alles in je plaatje in $r$ wilt uitdrukken, totdat je een lijnstuk op twee manieren in $r$ uitgedrukt hebt waarmee je dan een vergelijking kunt opstellen om $r$ mee te berekenen.

Hier is de gemakkelijkste manier om $CN$ op twee manieren in $r$ uit te drukken. Eén krijg je al cadeau, omdat dit de straal is van de grote cirkel en dus geldt dat $CN=r$ . Voor het tweede gegeven zul je $DN=\frac{1}{2}r^2$ moeten gebruiken (die moest je bij de vorige opdracht natuurlijk niet voor niets bewijzen).

Uitwerking met $CD+DM+MN=CN$ :

$DM=DN-MN=\frac{1}{2}r^2-1$
$CD=DM=\frac{1}{2}r^2-1$
$CN=CD+DN=\frac{1}{2}r^2-1+\frac{1}{2}r^2=r^2-1$
Bovendien geldt $CN=r$ . Dit geeft $r^2-1=r$
$r^2-r-1=0$
$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot -1=5$
$r=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\vee r=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
Conclusie: Aangezien $r>0$ voldoet alleen $r=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Uitwerking met gelijkvormigheid:

We hebben dat $\triangle ACD \cong \triangle AMD$ , omdat $CD=DM$ , $AD=AD$ en $\angle ADC=\angle ADM=90^{\circ}$ (congruentiegeval $ZHZ$ ).
Dit geeft $\angle AMC=\angle ACM$ .
Aangezien $AN=CN=r$ geldt vanwege gelijkbenigheid bovendien dat $\angle NCA=\angle CAN$ .
Dankzij al deze gelijke hoeken weten we dat $\triangle NCA \sim \triangle AMC$ . We hebben immers laten zien dat $\angle NAC = \angle NCA= \angle ACM = \angle AMC$ .
Uit $\triangle NCA \sim \triangle AMC$ volgt $\frac{AC}{CM}=\frac{AN}{AC}$ .
$\frac{1}{r-1}=\frac{r}{1}$
Kruiselings vermenigvuldigen geeft $r^2-r=1$
$r^2-r-1=0$
$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot -1=5$
$r=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\vee r=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
Conclusie: Aangezien $r>0$ voldoet alleen $r=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Pagina's: 1234567891011