Meetkunde gemengd – Pagina 6

Parabool en cirkel

Gegeven zijn het punt $F(0,4)$ en de parabool met vergelijking $y=\frac{1}{8}x^2+2$ . Punt $P$ op de parabool ligt rechts van de $y$ -as en heeft $x$ -coördinaat $p$ .
De cirkel $c$ met middelpunt $F$ gaat door $P$ .
In figuur 1 is deze situatie voor een bepaalde waarde van $p$ getekend.

Voor de lengte van de straal $FP$ van de cirkel geldt: $FP=\frac{1}{8}p^2+2$ .

Opdracht 16: (4 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

Meestal als we een onbekend punt op een grafiek hebben, helpt het om het $x$ -coördinaat van dat punt $p$ te noemen en de rest van het plaatje in $p$ uit te drukken. Hier doe je dat in de volgende stappen:

Je geeft het $x$ -coördinaat van $P$ de naam $p$ .
Je drukt het $y$ -coördinaat van $P$ uit in $p$ .
Je drukt de afstand van $FP$ uit in $p$ (met de stelling van Pythagoras, want het is de afstand tussen twee punten).

Zodra we deze afstand hebben, moeten we deze nog omschrijven naar de gevraagde vorm. We zien dat we toe moeten naar iets met een wortel. De truc wordt daarom om de regel $\sqrt{A^2}=A$ te gebruiken (die werkt als $A>0$ ). Daarmee moeten we dus aantonen dat $FP=\sqrt{(\frac{1}{8}p^2+2)^2}$ . Hier kom je wellicht alleen op door ook een beetje van achter naar voren te werken. Schroom bij dit soort vragen dus niet als je er bijna bent door ook een beetje terug te werken.

Uitwerking met in laatste stap terugberedeneren:

Het punt $P$ heeft als coördinaten $P(p, \frac{1}{8}p^2+2)$ .
$FP=\sqrt{(x_P-x_F)^2+(y_P-y_F)^2}=\sqrt{(p-0)^2+(\frac{1}{8}p^2+2-4)^2}=\sqrt{p^2+(\frac{1}{8}p^2-2)^2}$
$FP=\sqrt{p^2+\frac{1}{64}p^4-\frac{1}{2}p^2+4}=\sqrt{\frac{1}{64}p^4+\frac{1}{2}p^2+4}$
Aangezien $\frac{1}{8}p^2+2$ positief is, is het gelijk aan $\sqrt{(\frac{1}{8}p^2+2)^2}$ . Hier de haakjes uitwerken geeft $\frac{1}{8}p^2+2=\sqrt{(\frac{1}{8}p^2+2)^2}=\sqrt{\frac{1}{64}p^4+\frac{1}{2}p^2+4}$ .
Conclusie: Aangezien zowel $FP$ als $\frac{1}{8}p^2+2$ gelijk is aan $\sqrt{\frac{1}{64}p^4+\frac{1}{2}p^2+4}$ , zijn ze ook gelijk aan elkaar.

Uitwerking met toewerken naar eindantwoord:

Het punt $P$ heeft als coördinaten $P(p, \frac{1}{8}p^2+2)$ .
$FP=\sqrt{(x_P-x_F)^2+(y_P-y_F)^2}$
$FP=\sqrt{(p-0)^2+(\frac{1}{8}p^2+2-4)^2}$
$FP=\sqrt{p^2+(\frac{1}{8}p^2-2)^2}$
$FP=\sqrt{p^2+\frac{1}{64}p^4-\frac{1}{2}p^2+4}$
$FP=\sqrt{\frac{1}{64}p^4+\frac{1}{2}p^2+4}$
$FP=\sqrt{(\frac{1}{8}p^2+2)^2}$
$FP=\frac{1}{8}p^2+2$ (want $\frac{1}{8}p^2+2$ is positief).

Let bij dit soort vragen erop dat je laatste stap bij bewijs-vragen niet te groot mag zijn. Je moet dus zeker $FP=\sqrt{(\frac{1}{8}p^2+2)^2}$ hebben, voordat je $FP=\frac{1}{8}p^2+2$ opschrijft.

Punt $P'$ is de loodrechte projectie van $P$ op de $x$ -as en de lijn $m$ is de middelloodlijn van lijnstuk $PP'$ .
Afhankelijk van de positie van punt $P$ op de parabool hebben $c$ en $m$ nul, één of twee punten gemeenschappelijk. In figuur 2 is de situatie getekend waarin $m$ en de cirkel elkaar op de $y$ -as raken.

Opdracht 17: (4 punten)
Bereken exact de waarde van $p$ voor de in figuur 2 getekende situatie.

Aanpak:

Net als bij de vorige som helpt het om weer alles in de letter $p$ uit te drukken. Hierbij is $P$ net als bij de vorige som $P(p,\frac{1}{8}p^2+2)$ . Vervolgens wordt het punt $P'$ geïntroduceerd. Deze heeft hetzelfde $x$ -coördinaat en het $y$ -coördinaat is nul.

Vervolgens wordt de lijn $m$ geïntroduceerd. Deze drukken we ook weer uit in $p$ . Het is een horizontale lijn en heeft dus de vorm $y=\ldots$ . Het $y$ -coördinaat is hierbij het gemiddelde van $y_P$ en $y_P'$ (want de lijn zit in de midden, omdat het een middelloodlijn is).

Dit $y$ -coördinaat moet gelijk zijn aan de onderkant van de cirkel. Dat $y$ -coördinaat kunnen we bepalen door vanaf het middelpunt ( $y_F=4$ ) de straal ( $\frac{1}{8}p^2+2$ ) naar beneden te gaan. Dat geeft $y_F-r=4-(\frac{1}{8}p^2+2)=2-\frac{1}{8}p^2$ .

Tot slot stellen we deze $y$ -coördinaten gelijk en die vergelijking geeft ons de oplossing.

Uitwerking met y-coördinaten $m$ en cirkel snijden:

We hebben $P(p,\frac{1}{8}p^2+2)$ en $P'(p,0)$ .
De horizontale lijn heeft als $y$ -coördinaat $\frac{y_P+y_{P'}}{2}=\frac{\frac{1}{8}p^2+2+0}{2}=\frac{1}{16}p^2+1$ .
Het punt onderaan de cirkel zit de straal onder het middelpunt. Dat $y$ -coördinaat is $y_F-r=4-(\frac{1}{8}p^2+2)=2-\frac{1}{8}p^2$ .
Deze $y$ -coördinaten moeten gelijk zijn, dus $\frac{1}{16}p^2+1=2-\frac{1}{8}p^2$ .
$\frac{3}{16}p^2=1$
$p^2=\frac{16}{3}$
$p=\sqrt{\frac{16}{3}}$ (want $p>0$ )

Pagina's: 1234567891011