HAVO Wiskunde B – Pagina 6

Hoek tussen lijnen

Opdracht 5a:
Bereken algebraïsch de hoek tussen de lijnen $y=3x+2$ en $y=x+5$ . Rond af op één decimaal.

Uitwerking:

Stap 1: Bereken de hellingshoek $\alpha$ en $\beta$ van beide lijnen:
$\tan(\alpha)=3$ geeft $\alpha=\tan^{-1}(3)=71{,}565\ldots^{\circ}$
$\tan(\beta)=1$ geeft $\beta=\tan^{-1}(1)=45^{\circ}$

Stap 2: Hoek is verschil van hellingshoeken:
De hellingshoek is $\alpha - \beta = 71{,}565\ldots^{\circ} - 45^{\circ} = 26{,}6^{\circ}$ .

Opdracht 5b:
Bereken algebraïsch de hoek tussen de lijnen $y=4x+7$ en $y=-x+3$ . Rond af op één decimaal.

Uitwerking:

Stap 1: Bereken de hellingshoek $\alpha$ en $\beta$ van beide lijnen:
$\tan(\alpha)=4$ geeft $\alpha=\tan^{-1}(4)=75{,}963\ldots^{\circ}$
$\tan(\beta)=-1$ geeft $\beta=\tan^{-1}(-1)=-45^{\circ}$

Stap 2: Hoek is verschil van hellingshoeken:
$\alpha - \beta = 75{,}963\ldots^{\circ} - -45^{\circ} = 120{,}963\ldots^{\circ}$ .
De hellingshoek is $180^{\circ}-120{,}963\ldots^{\circ} \approx 59{,}0^{\circ}$ .

Opdracht 5c:
Bereken algebraïsch de hoek tussen de lijnen $y=\frac{5}{2}x+7$ en $y=-2x+3$ . Rond af op één decimaal.

Uitwerking:

Stap 1: Bereken de hellingshoek $\alpha$ en $\beta$ van beide lijnen:
$\tan(\alpha)=\frac{5}{2}$ geeft $\alpha=\tan^{-1}(\frac{5}{2})=68{,}198\ldots^{\circ}$
$\tan(\beta)=-2$ geeft $\beta=\tan^{-1}(-2)=-63{,}434\ldots^{\circ}$

Stap 2: Hoek is verschil van hellingshoeken:
$\alpha - \beta = 68{,}198\ldots^{\circ} - -63{,}434\ldots^{\circ} = 131{,}633\ldots^{\circ}$ .
De hellingshoek is $180^{\circ}-131{,}633\ldots^{\circ} \approx 48{,}4^{\circ}$ .

Opdracht 5d:
Bereken algebraïsch de hoek tussen de lijnen $y=\frac{7}{2}x+7$ en $y=5x+3$ . Rond af op één decimaal.

Uitwerking:

Stap 1: Bereken de hellingshoek $\alpha$ en $\beta$ van beide lijnen:
$\tan(\alpha)=5$ geeft $\alpha=\tan^{-1}(5)=78{,}690\ldots^{\circ}$
$\tan(\beta)=\frac{7}{2}$ geeft $\beta=\tan^{-1}(\frac{7}{2})=74{,}054\ldots^{\circ}$

Stap 2: Hoek is verschil van hellingshoeken:
De hellingshoek is $\alpha - \beta = 78{,}690\ldots^{\circ} -74{,}054\ldots^{\circ} \approx 4{,}6^{\circ}$ .

Raaklijn aan cirkel

Opdracht 5e:
Stel via exacte weg de formule op van de raaklijn aan de cirkel $(x+5)^2+(y-7)^2=5$ die door het punt $A(-3,8)$ op de cirkel gaat.

Uitwerking:

Stap 1: Richtingscoëfficiënt van $AM$ bepalen:
Het middelpunt is $M(-5,7)$
$a_{AM}=\frac{y_M-Y_A}{x_M-x_A}=\frac{7-8}{-5--3}=\frac{1}{2}$

Stap 2: Richtingscoëfficiënt van raaklijn bepalen:
Omdat de raaklijnen loodrecht staan, geldt: $a=\frac{-1}{\frac{1}{2}}=-2$

Stap 3: Begingetal bepalen
$\left.\begin{matrix}y=-2x+b\\ (-3,8)\end{matrix}\right\} -2\cdot -3+b=8$
$b=2$
De raaklijn is dus $y=-2x+2$ .

Opdracht 5f:
Stel via exacte weg de formule op van de raaklijn aan de cirkel $(x-3)^2+(y+4)^2=17$ die door het punt $B(-1,-3)$ op de cirkel gaat.

Uitwerking:

Stap 1: Richtingscoëfficiënt van $BM$ bepalen:
Het middelpunt is $M(3,-4)$
$a_{BM}=\frac{y_M-Y_B}{x_M-x_B}=\frac{-4--3}{3--1}=-\frac{1}{4}$

Stap 2: Richtingscoëfficiënt van raaklijn bepalen:
Omdat de raaklijnen loodrecht staan, geldt: $a=\frac{-1}{-\frac{1}{4}}=4$

Stap 3: Begingetal bepalen
$\left.\begin{matrix}y=4x+b\\ (-1,-3)\end{matrix}\right\} 4\cdot -1+b=-3$
$b=1$
De raaklijn is dus $y=4x+1$ .

Opdracht 5g:
Stel via exacte weg de formule op van de raaklijn aan de cirkel $(x-2)^2+(y-7)^2=26$ die door het punt $C(3,12)$ op de cirkel gaat.

Uitwerking:

Stap 1: Richtingscoëfficiënt van $CM$ bepalen:
Het middelpunt is $M(2,7)$
$a_{CM}=\frac{y_M-Y_C}{x_M-x_C}=\frac{7-12}{2-3}=5$

Stap 2: Richtingscoëfficiënt van raaklijn bepalen:
Omdat de raaklijnen loodrecht staan, geldt: $a=\frac{-1}{5}=-\frac{1}{5}$

Stap 3: Begingetal bepalen
$\left.\begin{matrix}y=-\frac{1}{5}x+b\\ (3,12)\end{matrix}\right\} -\frac{1}{5}\cdot 3+b=12$
$b=12 \frac{3}{5}$
De raaklijn is dus $y=-\frac{1}{5}x+12\frac{3}{5}$ .

Opdracht 5h:
Stel via exacte weg de formule op van de raaklijn aan de cirkel $(x-4)^2+(y-1)^2=18$ die door het punt $A(7,4)$ op de cirkel gaat.

Uitwerking:

Stap 1: Richtingscoëfficiënt van $AM$ bepalen:
Het middelpunt is $M(4,1)$
$a_{AM}=\frac{y_M-Y_A}{x_M-x_A}=\frac{4-7}{1-4}=1$

Stap 2: Richtingscoëfficiënt van raaklijn bepalen:
Omdat de raaklijnen loodrecht staan, geldt: $a=\frac{-1}{1}=-1$

Stap 3: Begingetal bepalen
$\left.\begin{matrix}y=-x+b\\ (7,4)\end{matrix}\right\} -\cdot -7+b=4$
$b=11$
De raaklijn is dus $y=-x+11$ .

Nagaan of lijn cirkel raakt

Opdracht 5i:
Onderzoek met een exacte berekening of $y=x-7$ een raaklijn is van $(x-3)^2+(y-2)^2=18$ .

Uitwerking:

Stap 1: Substitueer de formule van de lijn in de cirkel.
$\left.\begin{matrix}(x-3)^2+(y-2)^2=18\\ y=x-7\end{matrix}\right\} (x-3)^2+(x-7-2)^2=18$
$(x-3)^2+(x-9)^2=18$

Stap 2: Vergelijking oplossen
$x^2-6x+9+x^2-18x+81=18$
$2x^2-24x+72=0$
$x^2-12x-36=0$
$(x-6)^2=0$
$x=6$
Conclusie: Aangezien de lijn en de cirkel één snijpunt hebben, is de lijn een raaklijn.

Opdracht 5j:
Onderzoek met een exacte berekening of $y=\frac{5}{2}x-1$ een raaklijn is van $(x-5)^2+(y+3)^2=29$ .

Uitwerking:

Stap 1: Substitueer de formule van de lijn in de cirkel.
$\left.\begin{matrix}(x-5)^2+(y+3)^2=29\\ y=\frac{5}{2}x-1\end{matrix}\right\} (x-5)^2+(\frac{5}{2}x-1+3)^2=29$
$(x-5)^2+(\frac{5}{2}x+2)^2=29$

Stap 2: Vergelijking oplossen
$x^2-10x+25+\frac{25}{4}x^2+10x+4=29$
$\frac{29}{4}x^2=0$
$x^2=0$
$x=0$
Conclusie: Aangezien de lijn en de cirkel één snijpunt hebben, is de lijn een raaklijn.

Opdracht 5k:
Onderzoek met een exacte berekening of $y=x-7$ een raaklijn is van $(x-3)^2+(y+5)^2=25$ .

Uitwerking:

Stap 1: Substitueer de formule van de lijn in de cirkel.
$\left.\begin{matrix}(x-3)^2+(y+5)^2=25\\ y=x-7\end{matrix}\right\} (x-3)^2+(x-7+5)^2=25$
$(x-3)^2+(x-2)^2=25$

Stap 2: Vergelijking oplossen
$x^2-6x+9+x^2-4x+4=25$
$2x^2-10x-12=0$
$x^2-5x-6=0$
$(x-6)(x+1)=0$
$x=6\vee x=-1$
Conclusie: Aangezien de lijn en de cirkel twee snijpunten hebben, is de lijn geen raaklijn.

Opdracht 5l:
Onderzoek met een exacte berekening of $y=-x+7$ een raaklijn is van $(x-1)^2+y^2=18$ .

Uitwerking:

Stap 1: Substitueer de formule van de lijn in de cirkel.
$\left.\begin{matrix}(x-1)^2+y^2=18\\ y=-x+7\end{matrix}\right\} (x-1)^2+(-x+7)^2=18$

Stap 2: Vergelijking oplossen
$x^2-2x+1+x^2-14x+49=18$
$2x^2-16x+32=0$
$x^2-8x-16=0$
$(x-4)^2=0$
$x=4$
Conclusie: Aangezien de lijn en de cirkel één snijpunt hebben, is de lijn een raaklijn.

Afstand punt tot lijn

Opdracht 5m:
Bereken exact de afstand van $A(7,3)$ tot de lijn $y=3x+2$ .

Uitwerking:

Stap 1: Stel de formule van de loodlijn op die door punt $A$ gaat.
$a_{\text{loodlijn}}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$ .
$\left.\begin{matrix}y=-\frac{1}{3}x+b\\ (7,3)\end{matrix}\right\} 3=-\frac{1}{3}\cdot 7+b$
$b=5 \frac{1}{3}$
$y=-\frac{1}{3}x+5\frac{1}{3}$

Stap 2: Snijpunt van loodlijn met lijn berekenen
$-\frac{1}{3}x+5\frac{1}{3}=3x+2$
$-3\frac{1}{3}x=-3\frac{1}{3}$
$x=1$
$y=3\cdot 1+2=5$ , dus het snijpunt is $S(1,5)$ .

Stap 3: Afstand tussen punt $A$ en snijpunt berekenen.
$d(A,S)=\sqrt{(7-1)^2+(3-5)^2}=\sqrt{40}$
De afstand tussen $A(7,3)$ tot de lijn $y=3x+2$ is dus $\sqrt{40}$ .

Opdracht 5n:
Bereken exact de afstand van $A(6,4)$ tot de lijn $y=4x-3$ .

Uitwerking:

Stap 1: Stel de formule van de loodlijn op die door punt $A$ gaat.
$a_{\text{loodlijn}}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$ .
$\left.\begin{matrix}y=-\frac{1}{4}x+b\\ (6,4)\end{matrix}\right\} 4=-\frac{1}{4}\cdot 6+b$
$b=5 \frac{1}{2}$
$y=-\frac{1}{4}x+5\frac{1}{2}$

Stap 2: Snijpunt van loodlijn met lijn berekenen
$-\frac{1}{4}x+5\frac{1}{2}=4x-3$
$-4\frac{1}{4}x=-8\frac{1}{2}$
$x=2$
$y=4\cdot 2-3=5$ , dus het snijpunt is $S(2,5)$ .

Stap 3: Afstand tussen punt $A$ en snijpunt berekenen.
$d(A,S)=\sqrt{(2-6)^2+(5-4)^2}=\sqrt{17}$
De afstand tussen $A(6,4)$ tot de lijn $y=4x-3$ is dus $\sqrt{17}$ .

Opdracht 5o:
Bereken exact de afstand van $A(8,1)$ tot de lijn $y=\frac{1}{2}x+2$ .

Uitwerking:

Stap 1: Stel de formule van de loodlijn op die door punt $A$ gaat.
$a_{\text{loodlijn}}=\frac{-1}{\frac{1}{2}}=-2$ .
$\left.\begin{matrix}y=-2x+b\\ (8,1)\end{matrix}\right\} 1=-2\cdot 8+b$
$b=17$
$y=-2x+17$

Stap 2: Snijpunt van loodlijn met lijn berekenen
$-2x+17=\frac{1}{2}x+2$
$-2\frac{1}{2}x=-15$
$x=6$
$y=\frac{1}{2}\cdot 6+2=5$ , dus het snijpunt is $S(6,5)$ .

Stap 3: Afstand tussen punt $A$ en snijpunt berekenen.
$d(A,S)=\sqrt{(6-8)^2+(5-1)^2}=\sqrt{20}$
De afstand tussen $A(8,1)$ tot de lijn $y=\frac{1}{2}x+2$ is dus $\sqrt{20}$ .

Opdracht 5p:
Bereken exact de afstand van $A(8,8)$ tot de lijn $y=\frac{1}{3}x+2$ .

Uitwerking:

Stap 1: Stel de formule van de loodlijn op die door punt $A$ gaat.
$a_{\text{loodlijn}}=\frac{-1}{\frac{1}{3}}=-3$ .
$\left.\begin{matrix}y=-3x+b\\ (8,8)\end{matrix}\right\} 8=-3\cdot 8+b$
$b=32$
$y=-3x+32$

Stap 2: Snijpunt van loodlijn met lijn berekenen
$-3x+32=\frac{1}{3}x+2$
$-3\frac{1}{3}x=-30$
$x=9$
$y=\frac{1}{3}\cdot 9+2=5$ , dus het snijpunt is $S(9,5)$ .

Stap 3: Afstand tussen punt $A$ en snijpunt berekenen.
$d(A,S)=\sqrt{(9-8)^2+(5-8)^2}=\sqrt{10}$
De afstand tussen $A(8,8)$ tot de lijn $y=\frac{1}{3}x+2$ is dus $\sqrt{10}$ .

Pagina's: 123456