HAVO Wiskunde B – Pagina 4

Formule van sinus opstellen

Opdracht 3a:
Stel een formule van de vorm $y=a+b\cdot \sin(c(x-d))$ op bij de grafiek hieronder.

Uitwerking:

$a=\frac{y_\text{max}+y_\text{min}}{2}=\frac{5+1}{2}=3$
$b=\text{maximum} - \text{evenwichtsstand} = 5-3=2$
De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bij $x=\frac{\pi}{2}$ en $x=\frac{3\pi}{2}$ . De periode is dus $\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=\pi$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{\pi}=2$
De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bij $x=\frac{\pi}{2}$ , dus $d=\frac{\pi}{2}$ .
De formule is $y=3+2\sin(2(x-\frac{\pi}{2}))$ .

Opdracht 3b:
Stel een formule van de vorm $y=a+b\cdot \sin(c(x-d))$ op bij de grafiek hieronder.

Uitwerking:

$a=\frac{y_\text{max}+y_\text{min}}{2}=\frac{10+-2}{2}=4$
$b=\text{maximum} - \text{evenwichtsstand} = 10-4=6$
De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bij $x=0{,}5$ en $x=1{,}5$ . De periode is dus $1{,}5-0{,}5=1$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bij $x=0{,}5$ , dus $d=0{,}5$ .
De formule is $y=4+6\sin(2\pi(x-0{,}5))$ .

Opdracht 3c:
Stel een formule van de vorm $y=a+b\cdot \sin(c(x-d))$ op bij de grafiek hieronder.

Uitwerking:

$a=\frac{y_\text{max}+y_\text{min}}{2}=\frac{8+2}{2}=5$
$b=\text{maximum} - \text{evenwichtsstand} = 8-5=3$
De grafiek heeft een maximum bij $x=-\frac{\pi}{6}$ en $x=\frac{\pi}{2}$ . De periode is dus $\frac{\pi}{2}--\frac{\pi}{6}=\frac{2}{3}\pi$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{\frac{2}{3}\pi}=3$
De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bij $x=\frac{\pi}{3}$ , dus $d=\frac{\pi}{3}$ .
De formule is $y=5+3\sin(3(x-\frac{\pi}{3}))$ .

Opdracht 3d:
Stel een formule van de vorm $y=a+b\cdot \sin(c(x-d))$ op bij de grafiek hieronder.

Uitwerking:

$a=\frac{y_\text{max}+y_\text{min}}{2}=\frac{4+2}{2}=3$
$b=\text{maximum} - \text{evenwichtsstand} = 4-3=1$
De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bij $x=1$ en $x=3$ . De periode is dus $3-1=2$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{2}=\pi$
De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bij $x=1$ , dus $d=1$ .
De formule is $y=3+\sin(\pi(x-1))$ .

Formule van cosinus opstellen

Opdracht 3e:
Stel een formule van de vorm $y=a+b\cdot \cos(c(x-d))$ op bij de grafiek hieronder.

Uitwerking:

$a=\frac{y_\text{max}+y_\text{min}}{2}=\frac{3+-5}{2}=-1$
$b=\text{maximum} - \text{evenwichtsstand} = 3--1=4$
De grafiek heeft een maximum bij $x=0{,}5$ en $x=2{,}5$ . De periode is dus $2{,}5-0{,}5=2$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{2}=\pi$
De grafiek heeft een maximum bij $x=0,5$ . Dat geeft $d=0$ .
De formule is $y=-1+4\cos(\pi (x-0{,}5))$ .

Opdracht 3f:
Stel een formule van de vorm $y=a+b\cdot \cos(c(x-d))$ op bij de grafiek hieronder.

Uitwerking:

$a=\frac{y_\text{max}+y_\text{min}}{2}=\frac{-1+-5}{2}=-3$
$b=\text{maximum} - \text{evenwichtsstand} = -1--3=2$
De grafiek heeft een maximum bij $x=0$ en $x=\frac{\pi}{2}$ . De periode is dus $\frac{\pi}{2}-0=\frac{1}{2}\pi$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}\pi}=4$
De grafiek heeft een maximum bij $x=0$ . Dat geeft $d=0$ en we kunnen dat stukje van de vergelijking weglaten.
De formule is $y=-3+2\cos(4x)$ .

Opdracht 3g:
Stel een formule van de vorm $y=a+b\cdot \cos(c(x-d))$ op bij de grafiek hieronder.

Uitwerking:

$a=\frac{y_\text{max}+y_\text{min}}{2}=\frac{9+-1}{2}=4$
$b=\text{maximum} - \text{evenwichtsstand} = 9-4=5$
De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bij $x=\frac{\pi}{2}$ en $x=\frac{3\pi}{2}$ . De periode is dus $\frac{3\pi}{2}--\frac{\pi}{2}=\pi$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{\pi}=2$
De grafiek heeft een maximum een kwart periode nadat hij bij $x=\frac{\pi}{2}$ door de evenwichtsstand gaat. Dat is bij $d=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{4}\cdot \pi =\frac{3}{4}\pi$ .
De formule is $y=4+5\cos(2(x-\frac{3}{4}\pi))$ .

Opdracht 3h:
Stel een formule van de vorm $y=a+b\cdot \cos(c(x-d))$ op bij de grafiek hieronder.

Uitwerking:

$a=\frac{y_\text{max}+y_\text{min}}{2}=\frac{5+-1}{2}=2$
$b=\text{maximum} - \text{evenwichtsstand} = 5-2=3$
De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bij $x=0$ en $x=1$ . De periode is dus $1-0=1$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bij $x=0$ . Het maximum is een kwart periode later. Dat geeft $d=0+\frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}[4}$ .
De formule is $y=2+3\cos(2\pi (x-\frac{1}{4}))$ .

Formule opstellen met punten gegeven

Opdracht 3i:
Van een sinusoïde is gegeven dat een minimum gelijk is aan (2,8). Het eerstvolgende maximum is (8,22). Stel een formule op van deze sinusoïde.

Uitwerking:

$a=\frac{y_\text{max}+y_\text{min}}{2}=\frac{8+22}{2}=15$
$b=\text{maximum} - \text{evenwichtsstand} = 22-15=7$
Een halve periode is $8-2=6$ . De periode is dus $2\cdot 6=12$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{12}=\frac{1}{6}\pi$
Een $x$ -waarde bij een maximum is $x=8$ . Dus $d=8$ als we een cosinus nemen.
De formule is $y=15+7\cos(\frac{1}{6}\pi (x-8))$ .

Opdracht 3j:
Van een sinusoïde is gegeven dat een maximum gelijk is aan (20,14). Het eerstvolgende minimum is (30,4). Stel een formule op van deze sinusoïde.

Uitwerking:

$a=\frac{y_\text{max}+y_\text{min}}{2}=\frac{14+4}{2}=9$
$b=\text{maximum} - \text{evenwichtsstand} = 14-9=5$
Een halve periode is $30-20=10$ . De periode is dus $2\cdot 10=20$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{20}=\frac{1}{10}\pi$
Een $x$ -waarde bij een maximum is $x=20$ . Dus $d=20$ als we een cosinus nemen.
De formule is $y=9+5\cos(\frac{1}{10}\pi (x-20))$ .

Opdracht 3k:
Van een sinusoïde is gegeven dat een maximum gelijk is aan (5,10). Het eerstvolgende snijpunt met de evenwichtsstand is (10,4). Stel een formule op van deze sinusoïde.

Uitwerking:

$a=4$ ( $a$ staat voor de $y$ -waarde van de evenwichtsstand.
$b=\text{maximum} - \text{evenwichtsstand} = 10-4=6$
Een kwart periode is $10-5=5$ . De periode is dus $4\cdot 5=20$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{20}=\frac{1}{10}\pi$
Een $x$ -waarde bij een maximum is $x=5$ . Dus $d=5$ als we een cosinus nemen.
De formule is $y=4+6\cos(\frac{1}{10}\pi (x-5))$ .

Opdracht 3l:
Van een sinusoïde is gegeven dat een minimum gelijk is aan (20,-14). Het eerstvolgende snijpunt met de evenwichtsstand is (22,-4). Stel een formule op van deze sinusoïde.

Uitwerking:

$a=-4$ ( $a$ staat voor de $y$ -waarde van de evenwichtsstand.
$b=\text{evenwichtsstand} - \text{minimum} = -4--14=10$
Een kwart periode is $22-20=2$ . De periode is dus $4\cdot 2=8$ .
$c=\frac{2\pi}{\text{periode}}=\frac{2\pi}{8}=\frac{1}{4}\pi$
Een $x$ -waarde waar die stijgend door de evenwichtsstand gaat, is $x=22$ . Dus $d=22$ als we een sinus nemen.
De formule is $y=-4+10\sin(\frac{1}{4}\pi (x-22))$ .

Zoveelste top bepalen

Opdracht 3m:
Bereken exact de coördinaten van het 100ste maximum rechts van de $y$ -as van $y=5+4\sin(3(x-\frac{1}{3}\pi))$ .

Uitwerking:

$y_{\text{max}}=5+4=9$
De periode is $\frac{2\pi}{3}=\frac{2}{3}\pi$ .
Het beginpunt is $(\frac{1}{3}\pi,5)$ . Het eerste maximum is een kwart periode verder. Dat is bij $\frac{1}{3}\pi+\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\pi=\frac{1}{2}\pi$ .
Het 100ste maximum is nog 99 periode’s verder. Dat is dus bij $\frac{1}{2}\pi+99\cdot \frac{2}{3}\pi = 66\frac{1}{2}\pi$ .
De coördinaten van het 100ste maximum zijn $(66\frac{1}{2}\pi, 9)$ .

Opdracht 3n:
Bereken exact de coördinaten van het 50ste minimum rechts van de $y$ -as van $y=3+2\sin(2(x-\frac{1}{2}\pi))$ .

Uitwerking:

$y_{\text{min}}=3-2=1$
De periode is $\frac{2\pi}{2}=\pi$ .
Het beginpunt is $(\frac{1}{2}\pi,3)$ . Het eerste minimum rechts van de $y$ -as is een kwart periode terug. Dat is bij $\frac{1}{2}\pi-\frac{1}{4}\cdot \pi=\frac{1}{4}\pi$ .
Het 50ste minimum is nog 49 periode’s verder. Dat is dus bij $\frac{1}{4}\pi+49\cdot \pi = 49\frac{1}{2}\pi$ .
De coördinaten van het 50ste minimum zijn $(49\frac{1}{2}\pi, 1)$ .

Opdracht 3o:
Bereken exact de coördinaten van het 200ste minimum rechts van de $y$ -as van $y=-6+7\cos(4(x-\frac{1}{8}\pi))$ .

Uitwerking:

$y_{\text{min}}=-6-7=-13$
De periode is $\frac{2\pi}{4}=\frac{1}{2}\pi$ .
Het beginpunt is $(\frac{1}{8}\pi,1)$ . Het eerste minimum rechts van de $y$ -as is een halve periode daarna. Dat is bij $\frac{1}{8}\pi+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\pi=\frac{3}{8}\pi$ .
Het 200ste minimum is nog 199 periode’s verder. Dat is dus bij $\frac{3}{8}\pi+199\cdot \frac{1}{2}\pi = 99\frac{7}{8}\pi$ .
De coördinaten van het 200ste minimum zijn $(99\frac{7}{8}\pi, -13)$ .

Opdracht 3p:
Bereken exact de coördinaten van het 50ste maximum rechts van de $y$ -as van $y=2+\cos(2(x-1\frac{1}{2}\pi))$ .

Uitwerking:

$y_{\text{max}}=2+1=3$
De periode is $\frac{2\pi}{2}=\pi$ .
Het beginpunt is $(1\frac{1}{2}\pi,3)$ . Het eerste maximum rechts van de $y$ -as is een periode daarvoor. Dat is bij $1\frac{1}{2}\pi-\pi=\frac{1}{2}\pi$ .
Het 50ste maximum is nog 49 periode’s verder. Dat is dus bij $\frac{1}{2}\pi+49\cdot \pi = 49\frac{1}{2}\pi$ .
De coördinaten van het 50ste maximum zijn $(49\frac{1}{2}\pi, 3)$ .

Pagina's: 123456