HAVO Wiskunde B – Pagina 3

Goniometrische vergelijkingen

Goniometrische vergelijkingen zijn vergelijkingen met een sinus of cosinus. We kunnen die verdelen in een paar typen die veel op elkaar lijken.

Vraag 1: Sinusvergelijking (exact, basisversie)
Vraag 2: Sinusvergelijkingen (exact)
Vraag 3: Cosinusvergelijkingen (exact)
Vraag 4: Sinusvergelijkingen (algebraïsch)
Vraag 5: Cosinusvergelijkingen (algebraïsch)

Sinusvergelijking exact oplossen (basisversie)

Voorbeeld 1:
Los $\sin(x)=\frac{1}{2}$ exact op.

Uitwerking met uitleg:

We hebben geleerd dat $\sin(\alpha)$ staat voor het $y$ -coördinaat van een punt op de eenheidscirkel bij een hoek $\alpha$ . Zie het plaatje hiernaast.

Als we de vergelijking $\sin(x)=\frac{1}{2}$ willen oplossen, moeten we daarom in de exacte-waarden-cirkel kijken bij welke hoeken $x$ het $y$ -coördinaat $\frac{1}{2}$ is. Hiernaast zien we dat dit op het interval $[0,2\pi]$ bij $x=\frac{1}{6}\pi$ en $x=\frac{5}{6}\pi$ gebeurd.

Aangezien het $y$ -coördinaat hetzelfde is als we een aantal rondjes extra gelopen hebben, mogen we bij deze oplossingen zo vaak als we willen $2\pi$ optellen. Alle oplossingen zijn in dit geval dus $\frac{1}{6}\pi+k\cdot 2\pi\vee x=\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi$

Opdracht 1a:
Los $\sin(x)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ exact op.

Uitwerking:

In de exacte-waarden-cirkel zien we dat het $y$ -coördinaat $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ is

Opdracht 1b:
Los $\sin(x)=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ exact op.

Opdracht 1c:
Los $\sin(x)=1$ exact op.

Opdracht 1d:
Los $\sin(x)=0$ exact op.

Sinusvergelijking exact oplossen

Vraag 2a:
Los $4 \sin(5x+\frac{1}{3}\pi) + 5 = 7$ exact op het interval $[0,\pi]$ op.

Oplossing:

Stap 1: Schrijf de vergelijkig om naar $\sin(\ldots)=\text{getal}$ .
$4 \sin(5x+\frac{1}{3}\pi) + 5 = 7$
$4 \sin(5x+\frac{1}{3}\pi) = 2$
$\sin(5x+\frac{1}{3}\pi) = \frac{1}{2}$

Stap 2: Gebruik de exacte-waarden-cirkel om af te lezen bij welke hoeken de $y$ -waarde $\frac{1}{2}$ is.
$5x+\frac{1}{3}\pi = \frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi \vee 5x+\frac{1}{3}\pi = \frac{5}{6}\pi +k\cdot 2\pi$

Stap 3: Los de vergelijkingen op tot $x=\ldots$ .
$5x = -\frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi \vee 5x= \frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi$
$x = -\frac{1}{30}\pi +k\cdot \frac{2}{5}\pi \vee x= \frac{1}{10}\pi +k\cdot \frac{2}{5}\pi$

Stap 4: Noteer alle oplossingen op het interval $[0,\pi]$ door gehele waarden van $k$ in te vullen:
$x=\frac{11}{30}\pi\vee x=\frac{23}{30}\pi\vee x= \frac{1}{10}\pi\vee x=\frac{1}{2}\pi\vee x=\frac{9}{10}\pi$

Vraag 2b:
Los $6 \sin(2x+\frac{1}{6}\pi) = 3\sqrt{2}$ exact op het interval $[0,2\pi]$ op.

Oplossing:

Stap 1: Schrijf de vergelijkig om naar $\sin(\ldots)=\text{getal}$ .
$6 \sin(2x+\frac{1}{6}\pi) = 3\sqrt{2}$
$\sin(2x+\frac{1}{6}\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{2}$

Stap 2: Gebruik de exacte-waarden-cirkel om af te lezen bij welke hoeken de $y$ -waarde $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ is.
$2x+\frac{1}{6}\pi = \frac{1}{4}\pi +k\cdot 2\pi \vee 2x+\frac{1}{6}\pi = \frac{3}{4}\pi +k\cdot 2\pi$

Stap 3: Los de vergelijkingen op tot $x=\ldots$ .
$2x= \frac{1}{12}\pi +k\cdot 2\pi \vee 2x = \frac{7}{12}\pi +k\cdot 2\pi$
$x= \frac{1}{24}\pi +k\cdot \pi \vee x = \frac{7}{24}\pi +k\cdot \pi$

Stap 4: Noteer alle oplossingen op het interval $[0,2\pi]$ door gehele waarden van $k$ in te vullen:
$x=\frac{1}{24}\pi\vee x=1\frac{1}{24}\pi\vee x= \frac{7}{24}\pi \vee x=1 \frac{7}{24}\pi$

Vraag 2c:
Los $5 \sin(3x+\frac{1}{3}\pi)+7 = 12$ exact op het interval $[0,3\pi]$ op.

Oplossing:

Stap 1: Schrijf de vergelijkig om naar $\sin(\ldots)=\text{getal}$ .
$5 \sin(3x+\frac{1}{3}\pi)+7 = 12$
$5 \sin(3x+\frac{1}{3}\pi)=5$
$\sin(3x+\frac{1}{3}\pi)=1$

Stap 2: Gebruik de exacte-waarden-cirkel om af te lezen bij welke hoeken de $y$ -waarde $1$ is.
$3x+\frac{1}{3}\pi = \frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi$

Stap 3: Los de vergelijkingen op tot $x=\ldots$ .
$3x= \frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi$
$x= \frac{1}{18}\pi +k\cdot \frac{2}{3}\pi$

Stap 4: Noteer alle oplossingen op het interval $[0,3\pi]$ door gehele waarden van $k$ in te vullen:
$x=\frac{1}{18}\pi\vee x=\frac{13}{18}\pi\vee x= 1\frac{7}{18}\pi \vee x=2 \frac{1}{18}\pi\vee x=2\frac{13}{18}\pi$

Vraag 2d:
Los $2 \sin(4x-\frac{1}{2}\pi)+7 = 6$ exact op het interval $[0,\pi]$ op.

Oplossing:

Stap 1: Schrijf de vergelijkig om naar $\sin(\ldots)=\text{getal}$ .
$2 \sin(4x-\frac{1}{2}\pi)+7 = 6$
$2 \sin(4x-\frac{1}{2}\pi)= -1$
$\sin(4x-\frac{1}{2}\pi)= -\frac{1}{2}$

Stap 2: Gebruik de exacte-waarden-cirkel om af te lezen bij welke hoeken de $y$ -waarde $-\frac{1}{2}$ is.
$4x-\frac{1}{2}\pi=1 \frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi\vee 4x-\frac{1}{2}\pi=1\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi$

Stap 3: Los de vergelijkingen op tot $x=\ldots$ .
$4x=1 \frac{2}{3}\pi +k\cdot 2\pi\vee 4x=2\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi$
$x= \frac{5}{12}\pi +k\cdot \frac{1}{2}\pi\vee x=\frac{7}{12}\pi+k\cdot \frac{1}{2}\pi$

Stap 4: Noteer alle oplossingen op het interval $[0,\pi]$ door gehele waarden van $k$ in te vullen:
$x=\frac{5}{12}\pi\vee x=\frac{11}{12}\pi\vee x= \frac{1}{12}\pi \vee x=\frac{7}{12}\pi$

Vergelijkingen met cosinus

Vraag 2e:
Los $3 \cos(2x+\frac{1}{3}\pi) + 4 = 7$ exact op het interval $[0,5\pi]$ op.

Oplossing:

Stap 1: Schrijf de vergelijkig om naar $\cos(\ldots)=\text{getal}$ .
$3 \cos(2x+\frac{1}{3}\pi) + 4 = 7$
$3 \cos(2x+\frac{1}{3}\pi)= 3$
$\cos(2x+\frac{1}{3}\pi)=1$

Stap 2: Gebruik de exacte-waarden-cirkel om af te lezen bij welke hoeken de $x$ -waarde $1$ is.
$2x+\frac{1}{3}\pi = 0 +k\cdot 2\pi$

Stap 3: Los de vergelijkingen op tot $x=\ldots$ .
$2x= -\frac{1}{3}\pi +k\cdot 2\pi$
$x= -\frac{1}{6}\pi +k\cdot \pi$

Stap 4: Noteer alle oplossingen op het interval $[0,5\pi]$ door gehele waarden van $k$ in te vullen:
$x=\frac{5}{6}\pi\vee x=1\frac{5}{6}\pi\vee x= 2\frac{5}{6}\pi \vee x=3 \frac{5}{6}\pi\vee x=4\frac{5}{6}\pi$

Vraag 2f:
Los $6 \cos(2x-\frac{1}{2}\pi) + 11 = 8$ exact op het interval $[0,2\pi]$ op.

Oplossing:

Stap 1: Schrijf de vergelijkig om naar $\cos(\ldots)=\text{getal}$ .
$6 \cos(2x-\frac{1}{2}\pi) + 11 = 8$
$6 \cos(2x-\frac{1}{2}\pi) = -3$
$\cos(2x-\frac{1}{2}\pi) =-\frac{1}{2}$

Stap 2: Gebruik de exacte-waarden-cirkel om af te lezen bij welke hoeken de $x$ -waarde $-\frac{1}{2}$ is.
$2x-\frac{1}{2}\pi = \frac{2}{3}\pi +k\cdot 2\pi\vee 2x-\frac{1}{2}\pi=1\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi$

Stap 3: Los de vergelijkingen op tot $x=\ldots$ .
$2x= 1\frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi\vee 2x=1\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi$
$x= \frac{7}{12}\pi +k\cdot \pi\vee x=\frac{11}{12}\pi+k\cdot \pi$

Stap 4: Noteer alle oplossingen op het interval $[0,2\pi]$ door gehele waarden van $k$ in te vullen:
$x=\frac{7}{12}\pi\vee x=1\frac{7}{12}\pi\vee x= \frac{11}{12}\pi \vee x=1 \frac{11}{12}\pi$

Vraag 2g:
Los $5 \cos(3x-\frac{1}{2}\pi) +2 = 2$ exact op het interval $[-\pi,\pi]$ op.

Oplossing:

Stap 1: Schrijf de vergelijkig om naar $\cos(\ldots)=\text{getal}$ .
$5 \cos(3x-\frac{1}{2}\pi) +2 = 2$
$5 \cos(3x-\frac{1}{2}\pi) = 0$
$\cos(3x-\frac{1}{2}\pi) = 0$

Stap 2: Gebruik de exacte-waarden-cirkel om af te lezen bij welke hoeken de $x$ -waarde $0$ is.
$3x-\frac{1}{2}\pi= \frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi\vee 3x-\frac{1}{2}\pi=1\frac{1}{2}\pi+k\cdot 2\pi$

Stap 3: Los de vergelijkingen op tot $x=\ldots$ .
$3x= \pi +k\cdot 2\pi\vee 3x=2\pi+k\cdot 2\pi$
$x= \frac{1}{3}\pi +k\cdot \frac{2}{3}\pi\vee x=\frac{2}{3}\pi+k\cdot \frac{2}{3}\pi$

Stap 4: Noteer alle oplossingen op het interval $[-\pi,\pi]$ door gehele waarden van $k$ in te vullen:
$x=-\pi\vee x=-\frac{1}{3}\pi\vee x= \frac{1}{3}\pi \vee x=\pi\vee x=-\frac{2}{3}\pi\vee x=0\vee x=\frac{2}{3}\pi$

Vraag 2h:
Los $2 \cos(4x-\pi) = \sqrt{3}$ exact op het interval $[0,\pi]$ op.

Oplossing:

Stap 1: Schrijf de vergelijkig om naar $\cos(\ldots)=\text{getal}$ .
$2 \cos(4x-\pi) = \sqrt{3}$
$\cos(4x-\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{3}$

Stap 2: Gebruik de exacte-waarden-cirkel om af te lezen bij welke hoeken de $x$ -waarde $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ is.
$4x-\pi= \frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi\vee 4x-\pi=1\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi$

Stap 3: Los de vergelijkingen op tot $x=\ldots$ .
$4x= 1\frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi\vee 4x=2\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi$
$x= \frac{7}{24}\pi +k\cdot \frac{1}{2}\pi\vee x=\frac{17}{24}\pi+k\cdot \frac{1}{2}\pi$

Stap 4: Noteer alle oplossingen op het interval $[0,\pi]$ door gehele waarden van $k$ in te vullen:
$x=\frac{7}{24}\pi\vee x=\frac{19}{24}\pi\vee x= \frac{5}{24}\pi \vee x=\frac{17}{24}\pi$

Pagina's: 123456