HAVO Wiskunde B – Pagina 5

Middelpunt en straal van cirkel bepalen

Opdracht 4a:
Bereken exact het middelpunt en de straal van $x^2+8x+y^2+6y=3$ .

Uitwerking:

$(x+4)^2-16+(y+3)^2-9=3$
$(x+4)^2+(y+3)^2=28$
Het middelpunt van de cirkel is $(-4,-3)$ en de straal is $\sqrt{28}$ .

Opdracht 4b:
Bereken exact het middelpunt en de straal van $x^2-10x+y^2+4y=5$ .

Uitwerking:

$(x-5)^2-25+(y+2)^2-4=5$
$(x-5)^2+(y+2)^2=34$
Het middelpunt van de cirkel is $(5,-2)$ en de straal is $\sqrt{34}$ .

Opdracht 4c:
Bereken exact het middelpunt en de straal van $x^2-7x+y^2+8y=13$ .

Uitwerking:

$(x-3 \frac{1}{2})^2-12\frac{1}{4}+(y+4)^2-16=13$
$(x-3 \frac{1}{2})^2+(y+4)^2=41\frac{1}{4}$
Het middelpunt van de cirkel is $(3\frac{1}{2},-4)$ en de straal is $\sqrt{41\frac{1}{4}}$ .

Opdracht 4d:
Bereken exact het middelpunt en de straal van $x^2-5x+y^2+y=13$ .

Uitwerking:

$(x-2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+(y+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}=13$
$(x-2\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2=19\frac{1}{2}$
Het middelpunt van de cirkel is $(2\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ en de straal is $\sqrt{19\frac{1}{2}}$ .

Horizontale en verticale raaklijnen

Opdracht 4e:
Bereken exact de vergelijkingen van de horizontale raaklijnen van $x^2+8x+y^2+6y=3$ .

Uitwerking:

$(x+4)^2-16+(y+3)^2-9=3$
$(x+4)^2+(y+3)^2=28$
Het middelpunt van de cirkel is $(-4,-3)$ en de straal is $\sqrt{28}$ .
De horizontale raaklijnen zijn $\sqrt{28}$ boven en onder het middelpunt. Dat geeft de vergelijkingen $y=-3+\sqrt{28}$ en $y=-3-\sqrt{28}$ .

Opdracht 4f:
Bereken exact de vergelijkingen van de verticale raaklijnen van $x^2+6x+y^2-12y=4$ .

Uitwerking:

$(x+3)^2-9+(y-6)^2-36=4$
$(x+3)^2+(y-6)^2=49$
Het middelpunt van de cirkel is $(-3,6)$ en de straal is $\sqrt{49}=7$ .
De verticale raaklijnen zijn $7$ rechts en links van het middelpunt. Dat geeft de vergelijkingen $x=-3+7$ en $x=-3-7$ .
Het antwoord is dus $x=4$ en $x=-10$ .

Opdracht 4g:
Bereken exact de vergelijkingen van de horizontale raaklijnen van $x^2+4x+y^2-10y=7$ .

Uitwerking:

$(x+2)^2-4+(y-5)^2-25=7$
$(x+2)^2+(y-5)^2=36$
Het middelpunt van de cirkel is $(-2,5)$ en de straal is $\sqrt{36}=6$ .
De horizontale raaklijnen zijn $6$ boven en onder het middelpunt. Dat geeft de vergelijkingen $y=5+6$ en $y=5-6$ .
Het antwoord is dus $y=11$ en $y=-1$ .

Opdracht 4h:
Bereken exact de vergelijkingen van de verticale raaklijnen van $x^2-4x+y^2+2y=4$ .

Uitwerking:

$(x-2)^2-4+(y+1)^2-1=4$
$(x-2)^2+(y+1)^2=9$
Het middelpunt van de cirkel is $(2,-1)$ en de straal is $\sqrt{9}=3$ .
De verticale raaklijnen zijn $3$ rechts en links van het middelpunt. Dat geeft de vergelijkingen $x=2+3$ en $x=2-3$ .
Het antwoord is dus $x=5$ en $x=-1$ .

Formule van cirkel opstellen

Opdracht 4i:
Geef de formule van de cirkel met middellijn $AB$ met $A(3,5)$ en $B(13,7)$ .

Uitwerking:

Stap 1: Middelpunt berekenen
Het middelpunt $M$ is halverwege $A$ en $B$ , dus $M=(\frac{1}{2}(x_A+x_B}),\frac{1}{2}(y_A+y_B)) = (\frac{1}{2}(3+13),\frac{1}{2}(5+7)) = (8,6)$

Stap 2: Straal berekenen
De straal is de afstand van het middelpunt $M$ tot punt $A$ .
$r=d(A,M)=\sqrt{(8-3)^2+(6-5)^2}=\sqrt{26}$ .

Stap 3: Formule van de cirkel
$(x-8)^2+(y-6)^2=26$

Opdracht 4j:
Geef de formule van de cirkel met middellijn $CD$ met $C(-4,9)$ en $D(-10,1)$ .

Uitwerking:

Stap 1: Middelpunt berekenen
Het middelpunt $M$ is halverwege $C$ en $D$ , dus $M=(\frac{1}{2}(x_C+x_D}),\frac{1}{2}(y_C+y_D)) = (\frac{1}{2}(-4+-10),\frac{1}{2}(9+1)) = (-7,5)$

Stap 2: Straal berekenen
De straal is de afstand van het middelpunt $M$ tot punt $C$ .
$r=d(C,M)=\sqrt{(-7--4)^2+(5-9)^2}=\sqrt{25}=5$ .

Stap 3: Formule van de cirkel
$(x+7)^2+(y-5)^2=25$

Opdracht 4k:
Geef de formule van de cirkel met middellijn $AB$ met $A(7,21)$ en $B(19,-3)$ .

Uitwerking:

Stap 1: Middelpunt berekenen
Het middelpunt $M$ is halverwege $A$ en $B$ , dus $M=(\frac{1}{2}(x_A+x_B}),\frac{1}{2}(y_A+y_B)) = (\frac{1}{2}(7+19),\frac{1}{2}(21+-3)) = (13,9)$

Stap 2: Straal berekenen
De straal is de afstand van het middelpunt $M$ tot punt $A$ .
$r=d(A,M)=\sqrt{(13-7)^2+(9-21)^2}=\sqrt{180}$ .

Stap 3: Formule van de cirkel
$(x-13)^2+(y-9)^2=180$

Opdracht 4l:
Geef de formule van de cirkel met middellijn $CD$ met $C(-8,-4)$ en $D(-2,0)$ .

Uitwerking:

Stap 1: Middelpunt berekenen
Het middelpunt $M$ is halverwege $C$ en $D$ , dus $M=(\frac{1}{2}(x_C+x_D}),\frac{1}{2}(y_C+y_D)) = (\frac{1}{2}(-8+-2),\frac{1}{2}(-4+0)) = (-5,-2)$

Stap 2: Straal berekenen
De straal is de afstand van het middelpunt $M$ tot punt $C$ .
$r=d(C,M)=\sqrt{(-5--8)^2+(-2--4)^2}=\sqrt{13}$ .

Stap 3: Formule van de cirkel
$(x+5)^2+(y+2)^2=13$

Formule van cirkel opstellen deel 2

Opdracht 4m:
Geef de formule van de cirkel met middelpunt $M(4,7)$ die de $x$ -as raakt.

Uitwerking:

Het middelpunt zit 7 boven de $x$ -as. Om de $x$ -as te raken, moet de straal dus 7 zijn.
De formule van de cirkel is $(x-4)^2+(y-7)^2=49$ .

Opdracht 4n:
Geef de formule van de cirkel met middelpunt $M(3,11)$ die de $y$ -as raakt.

Uitwerking:

Het middelpunt zit 3 rechts van de $y$ -as. Om de $y$ -as te raken, moet de straal dus 3 zijn.
De formule van de cirkel is $(x-3)^2+(y-11)^2=9$ .

Opdracht 4o:
Geef de formule van de cirkel met middelpunt $M(-5,6)$ die de $y$ -as raakt.

Uitwerking:

Het middelpunt zit 5 links van de $y$ -as. Om de $y$ -as te raken, moet de straal dus 5 zijn.
De formule van de cirkel is $(x+5)^2+(y-6)^2=25$ .

Opdracht 4p:
Geef de formule van de cirkel met middelpunt $M(-2,-5)$ die de $x$ -as raakt.

Uitwerking:

Het middelpunt zit 5 onder de $x$ -as. Om de $x$ -as te raken, moet de straal dus 5 zijn.
De formule van de cirkel is $(x+2)^2+(y+5)^2=25$ .

Snijpunten met cirkels

Opdracht 4q:
Bereken exact de snijpunten van $(x+5)^2+(y-3)^2=13$ en $y=-x-1$ .

Uitwerking:

Stap 1: Substitueer de formule van de lijn in de cirkel.
$\left.\begin{matrix}(x+5)^2+(y-3)^2=13\\ y=-x-1\end{matrix}\right\} (x+5)^2+(-x-1-3)^2=13$
$(x+5)^2+(-x-4)^2=13$

Stap 2: Vergelijking oplossen
$x^2+10x+25+x^2+8x+16=13$
$2x^2+18x+28=0$
$x^2+9x+14=0$
$(x+7)(x+2)=0$
$x=-7\vee x=-2$

Stap 3: Oplossing substitueren in de lijn
$x=-7$ geeft $y=--7-1=6$
$x=-2$ geeft $y=--2-1=1$
De snijpunten zijn dus $(-7,6)$ en $(-2,1)$ .

Opdracht 4r:
Bereken exact de snijpunten van $(x-5)^2+(y-4)^2=25$ en $y=2x-1$ .

Uitwerking:

Stap 1: Substitueer de formule van de lijn in de cirkel.
$\left.\begin{matrix}(x-5)^2+(y-4)^2=25\\ y=2x-1\end{matrix}\right\} (x-5)^2+(2x-1-4)^2=25$
$(x-5)^2+(2x-5)^2=25$

Stap 2: Vergelijking oplossen
$x^2-10x+25+4x^2-20x+25=25$
$5x^2-30x+25=0$
$x^2-6x+5=0$
$(x-5)(x-1)=0$
$x=5\vee x=1$

Stap 3: Oplossing substitueren in de lijn
$x=1$ geeft $y=2\cdot 1-1=1$
$x=5$ geeft $y=2\cdot 5-1=9$
De snijpunten zijn dus $(1,1)$ en $(5,9)$ .

Opdracht 4s:
Bereken exact de snijpunten van $(x-4)^2+(y-2)^2=40$ en $y=x+2$ .

Uitwerking:

Stap 1: Substitueer de formule van de lijn in de cirkel.
$\left.\begin{matrix}(x-4)^2+(y-2)^2=25\\ y=x+2\end{matrix}\right\} (x-4)^2+(x+2-2)^2=40$
$(x-4)^2+x^2=40$

Stap 2: Vergelijking oplossen
$x^2-8x+16+x^2=40$
$2x^2-8x-24=0$
$x^2-4x-12=0$
$(x-6)(x+2)=0$
$x=6\vee x=-2$

Stap 3: Oplossing substitueren in de lijn
$x=-2$ geeft $y=-2+2=0$
$x=6$ geeft $y=6+2=8$
De snijpunten zijn dus $(-2,0)$ en $(6,8)$ .

Opdracht 4t:
Bereken exact de snijpunten van $(x+7)^2+(y+5)^2=10$ en $y=-\frac{1}{2}x-6$ .

Uitwerking:

Stap 1: Substitueer de formule van de lijn in de cirkel.
$\left.\begin{matrix}(x+7)^2+(y+5)^2=13\\ y=-\frac{1}{2}x-6\end{matrix}\right\} (x+7)^2+(-\frac{1}{2}x-6+5)^2=10$
$(x+7)^2+(-\frac{1}{2}x-1)^2=10$

Stap 2: Vergelijking oplossen
$x^2+14x+49+\frac{1}{4}x^2+x+1=10$
$1\frac{1}{4}x^2+15x+40=0$
$5x^2+60x+160=0$
$x^2+12x+32=0$
$(x+8)(x+4)=0$
$x=-8\vee x=-4$

Stap 3: Oplossing substitueren in de lijn
$x=-8$ geeft $y=-\frac{1}{2}\cdot-8-6=-2$
$x=-4$ geeft $y=-\frac{1}{2}\cdot -4-6=-4$
De snijpunten zijn dus $(-8,-2)$ en $(-4,-4)$ .

Pagina's: 123456