Absolute waarde (VWO 6 wis B) – Pagina 7

Door de asymptoot

Voor $x>\frac{1}{2}$ is de functie $f$ gegeven door $f(x)=\ln(\frac{2x-1}{x+2})$ .
De functie $g$ is de inverse van $f$ .
In figuur 1 zijn de grafieken van $f$ en $g$ getekend.

Er geldt: $g(x)=\frac{1+2e^x}{2-e^x}$ .

Opdracht 14: (4 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

Er zijn vier manieren om zo’n inverse aan te tonen:

Je kunt de inverse van $f$ berekenen door in $f(x)$ de $x$ en $y$ te verwisselen en dan $y$ vrij te maken. Als dit $g(x)$ is, is $g$ de inverse van $f$ .
Je kunt ook de inverse van $g$ berekenen door in $g(x)$ de $x$ en $y$ te verwisselen en dan $y$ vrij te maken. Als dit $f(x)$ is, zijn $g$ en $f$ ook elkaars inverse.
Een andere manier om aan te tonen dat $f$ en $g$ elkaars inverse zijn, is om aan te tonen dat $f(g(x))=x$ (want dan maakt de functie $f$ hetgeen wat functie $g$ doet ongedaan).
Hetzelfde idee als bij 3 kun je ook doen, door $g(f(x))=x$ aan te tonen.

Mijn advies zou zijn om de methode van de eerste twee punten goed te leren. Daarmee kun je op het examen namelijk alle inverse-vragen beantwoorden (ook als de inverse niet gegeven is).

Uitwerking met inverse van $f$ bepalen:

Voor de inverse van $f$ geldt $x=\ln(\frac{2y-1}{y+2})$
$e^x=\frac{2y-1}{y+2}$
Kruiselings vermenigvuldigen geeft $e^xy+2e^x=2y-1$
$1+2e^x=2y-e^xy$
$y$ buiten haakjes halen, geeft $(2-e^x)y=1+2e^x$
$y=\frac{1+2e^x}{2-e^x}$
Conclusie: $g(x)=\frac{1+2e^x}{2-e^x}$ is de inverse van $f$ .

Uitwerking met inverse van $g$ bepalen:

Voor de inverse van $g$ geldt $x=\frac{1+2e^y}{2-e^y}$
Kruiselings vermenigvuldigen geeft $2x-xe^y=1+2e^y$
$2x-1=xe^y+2e^y$
$e^y$ buiten haakjes halen, geeft $(x+2)e^y=2x-1$
$e^y=\frac{2x-1}{x+2}$
$y=\ln(\frac{2x-1}{x+2})$
Conclusie: $f(x)=\ln(\frac{2x-1}{x+2})$ is de inverse van $g$ . Er geldt daarom ook dat $g$ de inverse is van $f$ .

Uitwerking met $g(f(x))=x$ :

$g(f(x))=\frac{1+2e^{\ln(\frac{2x-1}{x+2})}}{2-e^{\ln(\frac{2x-1}{x+2})}}$
Met de rekenregel $e^{\ln(A)}=A$ krijgen we:
$g(f(x))=\frac{1+2(\frac{2x-1}{x+2})}{2-(\frac{2x-1}{x+2})}$
teller en noemer vermenigvuldigen met $x+2$ geeft:
$g(f(x))=\frac{x+2+2(2x-1)}{2(x+2)-(2x-1)}$
$g(f(x))=\frac{x+2+4x-2}{2x+4-2x+1}$
$g(f(x))=\frac{5x}{5}=x$
Conclusie: Aangezien $g(f(x))=x$ geldt dat $g$ de inverse is van $f$ .

Uitwerking met $f(g(x))=x$ :

$f(g(x))=\ln(\frac{2(\frac{1+2e^x}{2-e^x})-1}{\frac{1+2e^x}{2-e^x}+2})$
Teller en noemer vermenigvuldigen met $2-e^x$ geeft:
$f(g(x))=\ln(\frac{2(1+2e^x)-1(2-e^x)}{1+2e^x+2(2-e^x)})$
$f(g(x))=\ln(\frac{2+4e^x-2+e^x)}{1+2e^x+4-2e^x)})$
$f(g(x))=\ln(\frac{5e^x}{5})$
$f(g(x))=\ln(e^x)$
Met de rekenregel $e^{\ln(A)}=A$ krijgen we:
$f(g(x))=x$
Conclusie: Aangezien $f(g(x))=x$ geldt dat $g$ de inverse is van $f$ .

De functie $h$ is gegeven door $h(x)=\left| f(x)\right|$ .
In figuur 2 is de grafiek van $h$ getekend. De grafiek van $h$ heeft een horizontale asymptoot. Deze is in de figuur gestippeld weergegeven.

De grafiek van $h$ snijdt de horizontale asymptoot in het punt $A$ .

Opdracht 15: (5 punten)
Bereken exact de $x$ -coördinaat van $A$ .

Aanpak:

In het plaatje zien we dat de asymptoot aan de rechterkant van de grafiek zit. We moeten dus $\lim_{x\rightarrow\infty}h(x)$ berekenen. We hebben geleerd dat we zo’n limiet moeten versimpelen, totdat er nergens meer $\frac{0}{0}$ of oneindig uitkomt. Dat doen we hier door teller en noemer door $x$ te delen. Vervolgens kunnen we de limiet berekenen met de kennis dat $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$ .

Als je bovenstaande goed gedaan hebt, krijg je als asymptoot $y=\ln(2)$ . In het vervolg van de opgave moeten we dus $h(x)=\ln(2)$ oplossen. Hiervoor werken we eerst de absolute waarde weg met de rekenregel dat $|A|=B$ als oplossingen $A=B\vee A=-B$ heeft.

Vervolgens willen we beide vergelijkingen omschrijven naar $\ln(A)=\ln(B)$ (want dan kunnen we de \ln aan beide kanten weglaten). Hiervoor moeten we de min voor de $\ln(2)$ wegwerken. Dat kan met de rekenregel $c\cdot \ln(x)=\ln(x^c)$ (en dus in het bijzonder $-\ln(2)=\ln(2^{-1})$ ).

Uitwerking via asymptoot breuk:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\left|\ln(\frac{2x-1}{x+2})\right| =\lim_{x\rightarrow\infty}\left|\ln(\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}) \right| =\left|\ln(2)\right|=\ln(2)$
Er geldt daarom dat de asymptoot $y=\ln(2)$ is.
$h(x)=\ln(2)$ geeft $\left|\ln(\frac{2x-1}{x+2})\right|=\ln(2)$
$\ln(\frac{2x-1}{x+2})=\ln(2)\vee \ln(\frac{2x-1}{x+2})=-\ln(2)$
$\ln(\frac{2x-1}{x+2})=\ln(2)\vee \ln(\frac{2x-1}{x+2})=\ln(\frac{1}{2})$
$\frac{2x-1}{x+2}=2\vee \frac{2x-1}{x+2}=\frac{1}{2}$
Kruiselings vermenigvuldigen geeft:
$2x-1=2x+4\vee 4x-2=x+2$
$0=5\vee 3x=4$
$x=\frac{4}{3}$
Conclusie: Het $x$ -coördinaat van $A$ is $\frac{4}{3}$ .

Uitwerking via asymptoot $g$ :

Voor de verticale asymptoot van $g$ geldt:
$2-e^x=0$
$e^x=2$
$x=\ln(2)$
$f(x)$ is de inverse van $g$ . De horizontale asymptoot van $f$ is daarom $y=\ln(2)$ .
De horizontale asymptoot van $h(x)=\left|f(x)\right|$ is daarom ook $y=\ln(2)$ .
$h(x)=\ln(2)$ geeft $\left|\ln(\frac{2x-1}{x+2})\right|=\ln(2)$
$\ln(\frac{2x-1}{x+2})=\ln(2)\vee \ln(\frac{2x-1}{x+2})=-\ln(2)$
$\ln(\frac{2x-1}{x+2})=\ln(2)\vee \ln(\frac{2x-1}{x+2})=\ln(\frac{1}{2})$
$\frac{2x-1}{x+2}=2\vee \frac{2x-1}{x+2}=\frac{1}{2}$
Kruiselings vermenigvuldigen geeft:
$2x-1=2x+4\vee 4x-2=x+2$
$0=5\vee 3x=4$
$x=\frac{4}{3}$
Conclusie: Het $x$ -coördinaat van $A$ is $\frac{4}{3}$ .

Pagina's: 1234567891011