Absolute waarde (VWO 6 wis B) – Pagina 10

Een grafiek met een knik

De functie $f$ is gegeven door $f(x)=4e^{2-x}+|8-4x|$ .

De grafiek van $f$ heeft een knik in het punt $P$ . Dit punt verdeelt de grafiek in twee delen. De raaklijn in $P$ aan het linkerdeel van de grafiek van $f$ is lijn $m$ . De raaklijn in $P$ aan het rechterdeel van de grafiek van $f$ is lijn $k$ .
In figuur 1 zijn de grafiek van $f$ en de raaklijnen $k$ en $m$ weergegeven. Lijn $k$ is evenwijdig aan de $x$ -as. De hoek die de twee raaklijnen maken is ook in figuur 1 aangegeven.

Opdracht 4: (5 punten)
Bereken algebraïsch de hoek tussen de lijnen $k$ en $m$ .

Aanpak:

We hebben al de richting van lijn $k$ gekregen. We hoeven dus alleen de richtingscoëfficiënt van lijn $m$ te weten om de hoek tussen de lijnen te berekenen. Hiervoor moeten we natuurlijk allereerst weten waar het knikpunt is. Dat lossen we op door het stuk tussen de absolute waarden gelijk te stellen aan 0. Dit geeft als antwoord $x=2$ .

Vervolgens moeten we de absolute waarden wegwerken (want een functie met absolute waarden kunnen we niet differentiëren). Hiervoor kijken we of het stuk binnen de absolute waarden positief of negatief is op het stuk waarin we geïnteresseerd zijn. In dit geval kijken we naar de grafiek aan de linkerkant van $x=2$ . Op dat stuk is $8-4x$ positief. We kunnen daar dus $|8-4x|$ gewoon vervangen door $8-4x$ . Dit geeft $f_{\text{links}}(x)=4e^{2-x}+8-4x$ .

Vervolgens kunnen we de helling berekenen met $f_\text{links}}'(2)$ . Tot slot kunnen we de hoek tussen de twee lijnen berekenen met behulp van de hellingshoek van $m$ . We hebben geleerd dat hiervoor geldt dat $\tan(\text{hellingshoek})=\text{richtingscoëfficiënt}$ .

Uitwerking:

Het knikpunt is bij $8-4x=0$
$-4x=-8$
$x=2$
Links van het knikpunt geldt $|8-4x|=8-4x$ .
Daar geldt dus $f_{\text{links}}(x)=4e^{2-x}+8-4x$ .
$f_\text{links}}'(x)=4e^{2-x}\cdot -1-4$
$f_\text{links}}'(2)=4e^{2-2}\cdot -1-4=-8$
Voor de hellingshoek $\alpha$ geldt $\tan(\alpha)=-8$
$\alpha=\tan^{-1}(-8)=-82{,}874\ldots^{\circ}$
Conclusie: De gevraagde hoek is $0^{\circ}--82{,}874\ldots^{\circ}\approx 82{,}9^{\circ}$ .

De grafiek van $f$ heeft een asymptoot. Deze is in figuur 2 aangegeven.

Opdracht 5: (3 punten)
Bepaal op exacte wijze een vergelijking van deze asymptoot.

Aanpak:

In het plaatje zien we dat het een scheve asymptoot is aan de rechterkant van de grafiek. We kijken dus in de situatie dat $x\rightarrow \infty$ . Bij het berekenen van een asymptoot moeten we als eerste altijd de absolute waarde vervangen. Als $x\rightarrow \infty$ komt er iets negatiefs tussen de absolute waarde te staan en dus krijgen we $|8-4x|=-(8-4x)=-8+4x$ .

Vervolgens moeten we bij een scheve asymptoot de som altijd splitsen in een stuk wat een lijn is en een stuk dat een limiet van nul heeft. In dit geval is dat eigenlijk al voor ons gedaan: de lijn is $y=-8+4x$ en het stuk met limiet nul is $4e^{2-x}$ . Bij dit examen mocht je meteen zeggen dat $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}4e^{2-x}=0$ . De laatste jaren zijn ze echter wel wat strenger en ik zou daarom adviseren om als tussenstap de limiet nog om te schrijven naar een getal keer $e^{-x}$ . Dan maak je namelijk gebruik van de standaardlimiet $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} e^{-x}=0$ .

Uitwerking:

Rechts van het knikpunt $x=2$ geldt $|8-4x|=-(8-4x)=-8+4x$
$f_{\text{rechts}}(x)=4e^{2-x}-8+4x$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}4e^{2-x} = \lim_{x\rightarrow\infty}4e^2\cdot e^{-x} = 0$
De scheve asymptoot is daarom $y=-8+4x$ .

Pagina's: 1234567891011