Absolute waarde (VWO 6 wis B) – Pagina 11

Absolute natuurlijke logaritme

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=|\ln(x)|$ .
Gegeven is verder de horizontale lijn met vergelijking $y=q$ , met $q>0$ . Deze lijn snijdt de $y$ -as in het punt $A$ en de grafiek van $f$ in de punten $B$ en $C$ met $x_B<x_C$ . Zie de figuur.

Er is een waarde van $q$ waarvoor de lengte van lijnstuk $BC$ drie keer zo groot is als de lengte van lijnstuk $AB$ .

Opdracht 13: (6 punten)
Bereken exact deze waarde van $q$ .

Aanpak:

De truc bij dit soort opdrachten is om alles in het plaatje uit te drukken in één variabele. De meest logische keuze daarvoor is om alles in $q$ uit te drukken, omdat we uiteindelijk $q$ moeten berekenen. Hierbij kunnen we stap voor stap de volgende dingen berekenen:

De $x-$ -coördinaten van $B$ en $C$ door het oplossen van de vergelijking $f(x)=q$ .
De lengte $AB$ (met $x_B-x_A$ )
De lengte $BC$ (met $x_C-x_B$ )

Zodra we $AB$ en $BC$ hebben, kunnen we $q$ berekenen met het gegeven dat $BC$ drie keer zo groot is als lijnstuk $AB$ . Dat doen we met de vergelijking $BC=3\cdot AB$ .

Uitwerking met alles in $q$ uitdrukken:

Voor de snijpunten van $y=q$ en $f(x)=\left|\ln(x)\right|$ geldt $\left|\ln(x)\right|=q$
$\ln(x)=-q\vee \ln(x)=q$
$x=e^{-q}\vee x=e^{q}$
$AB=x_B-x_A=e^{-q}-0=e^{-q}$
$BC=x_C-x_B=e^{q}-e^{-q}$
$BC=3\cdot AB$ geeft $e^{q}-e^{-q}=3e^{-q}$
$e^{q}=4e^{-q}$
$e^{q}=\frac{4}{e^q}$
$e^{2q}=4$
$2q=\ln(4)$
$q=\frac{1}{2}\ln(4)$ (of een gelijkwaardige uitdrukking zoals $q=\ln(2)$ )

Uitwerking met alles in $x_B$ uitdrukken:

We hebben $x_C-x_B = 3x_B$
Dus $x_C=4x_B$
$f(x_B)=f(x_C)$ geeft $\left|\ln(x_B)\right|=\left|\ln(4x_B)\right|$
$\ln(x_B)=\ln(4x_B)\vee -\ln(x_B)=\ln(4x_B)$
Uit $\ln(x_B)=\ln(4x_B)$ volgt $x_B=4x_B$ wat $x_B=0$ geeft. Die oplossing voldoet niet.
$-\ln(x_B)=\ln(4x_B)$ geeft $\ln(x_B^{-1})=\ln(4x_B)$
$\ln(\frac{1}{x_B})=\ln(4x_B)$
$\frac{1}{x_B}=4x_B$
$4x_B^2=1$
$x_B^2=\frac{1}{4}$
$x_B=\frac{1}{2}$ (want $x_B=-\frac{1}{2}$ voldoet niet)
$q=|\ln(\frac{1}{2})|$
Hetgeen wat tussen absolute waarde staat, is negatief. Het antwoord is dus $q=-\ln(\frac{1}{2})$ (of een gelijkwaardig antwoord als $q=\ln(2)$ )

Pagina's: 1234567891011