Absolute waarde (VWO 6 wis B) – Pagina 5

Absolute logaritme

De functie $f_{18}$ wordt gegeven door $f_{18}(x)=\left|{}^2\!\log(x^2-18x+69)\right|$ .

De grafiek van $f_{18}$ snijdt de lijn met vergelijking $y=2$ in vier punten.

Opdracht 13: (4 punten)
Bereken exact de $x$ -coördinaten van deze vier punten.

Aanpak:

We moeten $f_{18}(x)=2$ oplossen. Daarbij wordt vooral getest of je al je rekenregels nog weet. In het bijzonder heb je de volgende rekenregels nodig:

$|A|=c$ geeft $A=c\vee A=-c$
${}^g\!\log(A)=c$ geeft $A=g^c$
$ax^2+bx+c=0$ geeft $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\vee x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ waarbij $D=b^2-4ac$

Uitwerking:

$f_{18}(x)=2$ geeft $\left|{}^2\!\log(x^2-18x+69)\right|=2$
${}^2\!\log(x^2-18x+69)=2\vee {}^2\!\log(x^2-18x+69)=-2$
$x^2-18x+69=4\vee x^2-18x+69=\frac{1}{4}$
$x^2-18x+65=0\vee x^2-18x+68\frac{3}{4}=0$
$x^2-18x+65=0$ geeft $(x-13)(x-5)=0$
$x=13\vee x=5$
$x^2-18x+68\frac{3}{4}$ geeft $D=(-18)^2-4\cdot 68\frac{3}{4}=49$
$x=\frac{18+\sqrt{49}}{2}\vee x=\frac{18-\sqrt{49}}{2}$
$x=\frac{25}{2}\vee x=\frac{11}{2}$
Conclusie: $x=13\vee x=5\vee x=\frac{25}{2}\vee x=\frac{11}{2}$

De functie $f_a$ wordt gegeven door $f_a(x)=\left|{}^2\!\log(x^2-ax+69)\right|$ met $a>0$ . Voor een bepaalde waarde van $a$ heeft de grafiek van $f_a$ twee verticale asymptoten met een onderlinge afstand van 20.

Opdracht 14: (4 punten)
Bereken exact deze waarde van $a$ .

Aanpak:

Om deze vraag op te kunnen lossen, moet je weten dat een logaritmische functie een verticale asymptoot heeft als de uitdrukking in de logaritme gelijk is aan 0. Dat is in dit geval bij $x^2-ax+69=0$ . De vraag is dus eigenlijk wanneer de oplossingen $x_1$ en $x_2$ van deze vergelijking 20 verschillen. De meest voor de hand liggende manier om dat op te lossen, lijkt mij om eerst $x_1$ en $x_2$ in $a$ uit te drukken met de abc-formule en dan $x_1-x_2=20$ (waarbij $x_1>x_2$ ) op te lossen.

Uitwerking met asymptoten berekenen:

De verticale asymptoten zijn bij $x^2-ax+69=0$
$D=(-a)^2-4\cdot 69 = a^2-276$
$x_1=\frac{a+\sqrt{a^2-276}}{2}\vee x_2=\frac{a-\sqrt{a^2-276}}{2}$
$x_1-x_2=20$ geeft $\frac{a+\sqrt{a^2-276}}{2}-\frac{a-\sqrt{a^2-276}}{2}=20$
$\frac{2\sqrt{a^2-276}}{2}=20$
$\sqrt{a^2-276}=20$
$a^2-276=400$
$a^2=676$
$a=26$ (want $a>0$ )

Uitwerking met ontbinding:

De verticale asymptoten zijn bij $x^2-ax+69=0$
Als de oplossingen hiervan $x=p$ en $x=p+20$ zijn, kunnen we $x^2-ax+69=0$ ontbinden als $x^2-ax+69=(x-p)(x-p-20)$
$x^2-ax+69=x^2-px-20x-px+p^2+20p$
$x^2-ax+69=x^2-(2p+20)x+(p^2+20p)$
$\begin{cases}a=2p+20\\ p^2+20p=69\end{cases}$
$p^2+20p-69=0$
$(p+23)(p-3)=0$
$p=3$ (want $p=-23$ leidt tot een negatieve $a$ en dat voldoet niet)
$a=2p+20=2\cdot 3+20=26$

Uitwerking met oplossingen invullen:

De verticale asymptoten zijn bij $x^2-ax+69=0$
Als de asymptoten $x=p$ en $x=p+20$ zijn geldt $\begin{cases}(p+20)^2-a(p+20)+69=0\\ p^2-ap+69=0\end{cases}$
$\begin{cases}p^2+40p+400-ap-20a+69=0\\p^2-ap+69=0\end{cases}$
De vergelijkingen van elkaar afhalen geeft $40p+400-20a=0$
$20a=40p+400$
$a=2p+20$
$a=2p+20$ substitueren in $p^2-ap+69=0$ geeft $p^2-(2p+20)p+69=0$
$p^2-2p^2-20p+69=0$
$-p^2-20p+69=0$
$p^2+20p-69=0$
$(p+23)(p-3)=0$
$p=3$ (want $p=-23$ leidt tot een negatieve $a$ en dat voldoet niet)
$a=2p+20=2\cdot 3+20=26$

Pagina's: 1234567891011