Absolute waarde (VWO 6 wis B) – Pagina 6

Drie keer over de lijn

Voor $x\geq 0$ en $a>1\frac{1}{2}$ wordt de functie $f_a$ gegeven door:

$f_a(x)=\left| a-x^2\right| \cdot x+3x$

De grafiek van $f_a$ heeft een knik met $x$ -coördinaat $\sqrt{a}$ . Deze knik verdeelt de grafiek van $f_a$ in twee delen. Links van deze knik bevindt zich een top van de grafiek van $f_a$ .

De $y$ -coördinaat van deze top is te schrijven als:

$y_{\text{top}}=2(\frac{1}{3}a+1)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$

Opdracht 14: (5 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

Bij vragen met absolute waarden is de eerste stap altijd om te kijken of we $|A|$ moeten vervangen door $(A)$ of $-(A)$ . Hier zit de top links van het knikpunt. Daar geldt dat $a-x^2$ positief is en dus geldt daar $|a-x^2|=a-x^2$ .

Zodra we op deze manier de functie hebben omgeschreven tot $f_{\text{links}}(x)=(a-x^2)x+3x$ kunnen we de rest van de vraag beantwoorden. We moeten een $y$ -coördinaat van de top berekenen. Daarvoor berekenen we eerst $x_{\text{top}}$ met $f'(x)=0$ . Vervolgens berekenen we $y_{\text{top}} = f(x_{\text{top}}$ . Let er daarbij op dat het slim is om de $x_{\text{top}}$ in te vullen in een versie van $f(x)$ waarbij je de absolute waarde al hebt weggewerkt.

Uitwerking met substitueren in $f_{\text{links}}(x)=(a-x^2)x+3x$ :

Links van de knik geldt $a-x^2>0$ . Daar wordt $f_{\text{links}}(x)=(a-x^2)x+3x$
$f_{\text{links}}(x)=ax-x^3+3x$
$f_{\text{links}}'(x)=a-3x^2+3$
$f_{\text{links}}'(x)=0$ geeft $a-3x^2+3=0$
$-3x^2=-a-3$
$x^2=\frac{1}{3}a+1$
$x=\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$ (want $x=-\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$ voldoet niet, want $x>0$ )
$y_{\text{top}}=f_{\text{links}}(\sqrt{\frac{1}{3}a+1})=(a-(\sqrt{\frac{1}{3}a-1})^2)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}+3\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$
$y_{\text{top}}=(a-(\frac{1}{3}a+1))\sqrt{\frac{1}{3}a+1}+3\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$
$y_{\text{top}}=(\frac{2}{3}a-1)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}+3\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$
$y_{\text{top}}=(\frac{2}{3}a+2)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$
$y_{\text{top}}=2(\frac{1}{3}a+1)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$

Uitwerking met substitueren in $f_{\text{links}}(x)=ax-x^3+3x$ :

Links van de knik geldt $a-x^2>0$ . Daar wordt $f_{\text{links}}(x)=(a-x^2)x+3x$
$f_{\text{links}}(x)=ax-x^3+3x$
$f_{\text{links}}'(x)=a-3x^2+3$
$f_{\text{links}}'(x)=0$ geeft $a-3x^2+3=0$
$-3x^2=-a-3$
$x^2=\frac{1}{3}a+1$
$x=\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$ (want $x=-\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$ voldoet niet, want $x>0$ )
$y_{\text{top}}=f_{\text{links}}(\sqrt{\frac{1}{3}a+1})=a\sqrt{\frac{1}{3}a+1}-(\sqrt{\frac{1}{3}a+1})^3+3\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$
$y_{\text{top}}=f_{\text{links}}(\sqrt{\frac{1}{3}a+1})=a\sqrt{\frac{1}{3}a+1}-(\sqrt{\frac{1}{3}a+1})^2\sqrt{\frac{1}{3}a+1}+3\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$
$y_{\text{top}}=f_{\text{links}}(\sqrt{\frac{1}{3}a+1})=a\sqrt{\frac{1}{3}a+1}-(\frac{1}{3}a+1)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}+3\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$
$y_{\text{top}}=\frac{2}{3}a\sqrt{\frac{1}{3}a+1}+2\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$
$y_{\text{top}}=(\frac{2}{3}a+2)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$
$y_{\text{top}}=2(\frac{1}{3}a+1)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}$

In de figuur zijn de grafieken van $f_8$ , $f_{20}$ en $f_{32}$ en de lijn $l$ met vergelijking $y=16$ weergegeven.

Als $a$ toeneemt, neemt de $y$ -coördinaat $2(\frac{1}{3}a+1)\sqrt{\frac{1}{3}a+1$ van de top toe. Ook de $y$ -coördinaat $f_a(\sqrt{a})$ van de knik neemt dan toe.
Het aantal gemeenschappelijke punten van de grafiek van $f_a$ en lijn $l$ hangt af van deze $y$ -coördinaten. Zo snijden de grafiek van $f_8$ en lijn $l$ elkaar in één punt. De grafiek van $f_{20}$ snijdt lijn $l$ in drie punten en de grafiek van $f_{32}$ snijdt lijn $l$ in één punt.
De waarden van $a$ waarvoor de grafiek van $f_a$ en lijn $l$ drie snijpunten hebben, vormen een interval.

Opdracht 15: (5 punten)
Bereken exact dit interval.

Aanpak:

In de plaatjes zien we dat er drie snijpunten zijn als de top boven de lijn $y=16$ ligt en tegelijk het knikpunt onder de lijn $y=16$ zit. Om te weten waar dat gebeurt, lossen we eerst de vergelijkingen $y_{\text{top}}=16$ en $y_{\text{knikpunt}}=16$ op. Met behulp van de gegeven schetsjes zien we dan dat alle waarden van $x$ tussen deze twee oplossingen het antwoord op de vraag vormen.

Een paar opmerkingen:

Het $x$ -coördinaat van het buigpunt staat in de tekst. Die hoef je dus niet te berekenen.
Je krijgt bij $y_{\text{top}}$ iets van de vorm $A\sqrt{A}$ . We hebben geleerd dat het handig is om dat te herschrijven als $A\cdot A^{\frac{1}{2}}=A^{1\frac{1}{2}}$ . Let er echter wel op dat de notatie $\sqrt[1\frac{1}{2}]{8}$ niet bestaat. Je moet $A^{1\frac{1}{2}}=8$ daarom eerst kwadrateren voordat je een hogeremachtswortel neemt.

Uitwerking:

$y_{\text{top}}=16$ geeft $2(\frac{1}{3}a+1)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}=16$
$(\frac{1}{3}a+1)\sqrt{\frac{1}{3}a+1}=8$
Kwadrateren geeft $(\frac{1}{3}a+1)^3=64$
$\frac{1}{3}a+1=4$
$\frac{1}{3}a=3$
$a=9$
$y_{\text{knikpunt}}=f_a(\sqrt{a})=\left| 0\right| \cdot \sqrt{a}+3\sqrt{a}=3\sqrt{a}$
$y_{\text{knikpunt}}=16$ geeft $3\sqrt{a}=16$
$\sqrt{a}=\frac{16}{3}$
$a=\frac{256}{9}$
In de plaatjes zien we dat moet gelden $y_{\text{top}}>16$ en $y_{\text{knikpunt}}<16$ . Dat geeft $9<a<\frac{256}{9}$ .

Pagina's: 1234567891011