2015 tijdvak 1 – Pagina 7

Symmetrisch gebied

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}$ .
De grafiek van $f$ is symmetrisch ten opzichte van de $y$ -as.

Gegeven is $p$ , met $p>0$ . In de figuur is het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van $f$ , de $x$ -as en de lijnen met vergelijking $x=-p$ en $x=p$ grijs gemaakt.

De oppervlakte van dit gebied noemen we $A(p)$ .

Een primitieve $F$ van $f$ wordt gegeven door $F(x)=\frac{-1}{e^x+1}$ .

Er geldt: $A(p)=1-\frac{2}{e^p+1}$

Opdracht 15: (4 punten)
Bewijs met behulp van de gegeven primitieve functie dat inderdaad geldt: $A(p)=1-\frac{2}{e^p+1}$

Aanpak:

Het valt mij op dat er veel integreervragen op de eindexamens zitten waarbij de opgave gemakkelijker wordt als je gebruik maakt van symmetrie. Hier is de grafiek natuurlijk symmetrisch in de $y$ -as en geldt dus dat $A(p)$ gelijk is aan twee keer de oppervlakte die rechts van de $y$ -as zit. Als je dit gegeven gebruikt, komt de formule die je moet aantonen direct uit je integraal.

Veel leerlingen gebruiken in plaats daarvan natuurlijk de integraal $A(p)=\int_{-p}^p f(x)\text{dx}$ . Als je dat doet, moet je op het eind $A(p)=\frac{-1}{e^p+1}-\frac{-1}{e^{-p}+1}$ nog herschrijven naar de vorm $A(p)=1-\frac{2}{e^p+1}$ . Dit doe je met de volgende handigheidjes:

We moeten de breuk $\frac{-1}{e^{-p}+1}$ omschrijven naar een vorm waarin de noemer overeen komt met het antwoord (dus $e^p+1$ ). Aangezien $e^{-p}=\frac{1}{e^p}$ is, kan dit om teller en noemer te vermenigvuldigen met $e^p$ (dat verandert de waarde van de breuk niet).
We kunnen dan de breuken optellen. Vervolgens moeten we nog een getal uit de breuk halen. Dat doen we op dezelfde manier als we een schuine asymptoot berekenen.

Uitwerking met gebruik van symmetrie:

Het gebied is symmetrisch in de $y$ -as.
Daarom geldt: $A(p)=2\cdot \int_{0}^p f(x)\text{dx}$
$A(p)=2\cdot \left[\frac{-1}{e^x+1}\right]_{0}^p$
$A(p)=2(\frac{-1}{e^p+1}-\frac{-1}{e^{0}+1})$
$A(p)=2(\frac{-1}{e^p+1}-\frac{-1}{2})$
Haakjes uitwerken geeft: $\frac{-2}{e^p+1}+1$
$A(p)=1-\frac{2}{e^p+1}$

NB: Aangezien het antwoord gegeven is, moet je de laatste stap zo klein mogelijk maken. Daarom hou ik bij de haakjes uitwerken in eerste instantie de volgorde van de termen aan en draai ik ze pas daarna om, zodat de nakijker ziet dat ik de afleiding helemaal zelf gedaan heb en niet de laatste stap heb overgeschreven van het antwoord zonder te weten wat er moet gebeuren.

Uitwerking met integreren over het hele gebied:

$A(p)=\int_{-p}^p f(x)\text{dx}$
$A(p)=\left[\frac{-1}{e^x+1}\right]_{-p}^p$
$A(p)=\frac{-1}{e^p+1}-\frac{-1}{e^{-p}+1}$
We vermenigvuldigen teller en noemer van de tweede breuk met $e^p$ :
$A(p)=\frac{-1}{e^p+1}-\frac{-e^p}{1+e^p}$
$A(p)=\frac{-1}{e^p+1}-\frac{-e^p}{e^p+1}$
$A(p)=\frac{e^p-1}{e^p+1}$
$A(p)=\frac{e^p+1-2}{e^p+1}$
$A(p)=1-\frac{2}{e^p+1}$

Als $p$ onbegrensd toeneemt, nadert $A(p)$ tot een limietwaarde $L$ .
Er is een waarde van $p$ waarvoor $A(p)$ de helft is van $L$ .

Opdracht 16: (4 punten)
Bereken exact deze waarde van $p$ .

Aanpak:

Je moet de twee zinnen die boven de opgave staan van boven naar beneden uitvoeren. In de eerste zin staat de uitdrukking “Als $p$ onbegrensd toeneemt”. Dit betekent dat we moeten kijken in de limiet als $p\rightarrow{\infty}$ . De eerste stap is dus om $L=\displaystyle \lim_{p\rightarrow\infty} A(p)$ te berekenen.

In de tweede zin staat dat we de waarde van $p$ moeten berekenen waarvoor $A(p)=\frac{1}{2}\cdot L$ . Die vergelijking lossen we dus op.

Uitwerking:

$L= \displaystyle \lim_{p\rightarrow\infty} A(p)=\displaystyle \lim_{p\rightarrow\infty}1-\frac{2}{e^p+1}=\lim_{p\rightarrow\infty}1-\frac{\frac{2}{e^p}}{1+\frac{1}{e^p}}=1-\frac{0}{1+0}}=1$
$A(p)=\frac{1}{2}\cdot L$ geeft $1-\frac{2}{e^p+1}=\frac{1}{2}$
$-\frac{2}{e^p+1}=-\frac{1}{2}$
$\frac{2}{e^p+1}=\frac{1}{2}$
Kruiselings vermenigvuldigen geeft $e^p+1=4$ .
$e^p=3$
$p=\ln(3)$

Pagina's: 1234567