2015 tijdvak 1 – Pagina 6

Hardheid

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ . De grafiek van $f$ is een halve cirkel met middelpunt $O(0,0)$ en straal 5.

Voor de functie $f$ geldt: $\sqrt{1+(f'(x))^2}=\frac{5}{\sqrt{25-x^2}}$

Opdracht 11: (5 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

We moeten aantonen dat $\sqrt{1+(f'(x))^2}=\frac{5}{\sqrt{25-x^2}}$ . De truc daarbij wordt om $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ net zo lang te herschrijven totdat we het gelijkgesteld hebben tot $\frac{5}{25-x^2}$ . Hierbij moet je de volgende stappen zetten:

De functie $f$ differentiëren.
De uitdrukking $1+(f'(x))^2$ onder de wortel herschrijven tot één breuk.
Met de rekenregel $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ kunnen we dit omschrijven tot de gevraagde vorm.

Let er op dat je laatste stap klein is, omdat het antwoord al in de vraag gegeven is. In die gevallen moet je nakijker zeker weten dat je het niet zomaar overgeschreven hebt. Dat doe je door te zorgen dat de laatste stap heel klein is.

Uitwerking:

$f(x)=(25-x^2)^{\frac{1}{2}}$
$f'(x)=\frac{1}{2}(25-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot -2x$
$f'(x)=-x(25-x^2)^{-\frac{1}{2}}$
$f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}$
$\sqrt{1+(f'(x))^2}=\sqrt{1+(\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}})^2}$
$\sqrt{1+(f'(x))^2}=\sqrt{1+\frac{x^2}{25-x^2}}$
$\sqrt{1+(f'(x))^2}=\sqrt{\frac{25-x^2}{25-x^2}+\frac{x^2}{25-x^2}}$
$\sqrt{1+(f'(x))^2}=\sqrt{\frac{25-x^2+x^2}{25-x^2}$
$\sqrt{1+(f'(x))^2}=\sqrt{\frac{25}{25-x^2}$
Met de rekenregel $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ wordt dit:
$\sqrt{1+(f'(x))^2}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{25-x^2}}$
$\sqrt{1+(f'(x))^2}=\frac{5}{\sqrt{25-x^2}}$

In figuur 1 is de grafiek van $f$ getekend. We bekijken het deel van de grafiek tussen $x=5-h$ en $x=5$ . Door dit gedeelte te wentelen om de $x$ -as ontstaat het bolsegment met dikte $h$ . Zie figuur 2.

Voor de grijs gemaakte oppervlakte $A$ van het bolsegment, dus zonder de oppervlakte van de cirkelvormige linkerkant, geldt:

$A=2\pi\cdot \int_{5-h}^5 f(x)\cdot \sqrt{1+(f'(x))^2} \text{ dx}$

Met behulp van deze integraal kan exact worden berekend dat $A=10\pi h$ .

Opdracht 12: (3 punten)
Bewijs dat $A=10\pi h$ .

Aanpak:

Boven de opgave staat dat we met behulp van $A=2\pi\cdot \int_{5-h}^5 f(x)\cdot \sqrt{1+(f'(x))^2} \text{ dx}$ moeten aantonen dat $A=10\pi h$ . We beginnen dus met $A=2\pi\cdot \int_{5-h}^5 f(x)\cdot \sqrt{1+(f'(x))^2} \text{ dx}$ . Daar vullen we de formule van $f(x)$ en de formule voor $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ die we in de vorige opgave moesten bewijzen in (ter herinnering: als je iets moet bewijzen, heb je dat meestal in de volgende opgave nodig).

In de integraal die we dan krijgen, vallen meteen termen tegen elkaar weg, omdat $A\cdot \frac{B}{A}=B$ . Vervolgens hebben we een integraal die we kunnen berekenen. Als je dat goed doet, krijg je $A=10\pi h$ zoals gevraagd.

Uitwerking:

$f(x)=\sqrt{25-x^2}$ en $\sqrt{1+(f'(x))^2}=\frac{5}{\sqrt{25-x^2}}$ invullen in $A=2\pi\cdot \int_{5-h}^5 f(x)\cdot \sqrt{1+(f'(x))^2} \text{ dx}$ geeft:
$A=2\pi\cdot \int_{5-h}^5 \sqrt{25-x^2}\cdot \frac{5}{\sqrt{25-x^2}} \text{ dx}$
$A=2\pi\cdot \int_{5-h}^5 5\text{dx}$
$A = 2\pi \cdot \left[5x \right]_{5-h}^5$
$A=2\pi\cdot 5\cdot 5 - 2\pi\cdot 5(5-h)$
$A=50\pi-50\pi+10\pi h$
$A=10\pi h$

De formule $A=10\pi h$ voor de oppervlakte van een bolsegment bewijst zijn nut bij de methode die de Zweed Brinell ontwikkelde voor het bepalen van de hardheid van materialen. Bij deze methode wordt gebruik gemaakt van een massieve bolvormige kogel die een diameter van 10 mm heeft. De kogel wordt met kracht tegen het te testen materiaal gedrukt, waardoor er in het materiaal een indruk in de vorm van een bolsegment ontstaat. De oppervlakte van dat bolsegment hangt af van de hardheid van het materiaal en de kracht waarmee wordt gedrukt.

Deze kracht mag niet zo groot zijn dat de kogel vervormt of voor meer dan de helft in het materiaal wordt gedrukt.
In de praktijk wordt bij de hardheidsmeting volgens Brinell de diameter $d$ (in mm) van de cirkelvormige rand van de indruk gemeten. In figuur 3 is een dwarsdoorsnede getekend van een kogel met diameter 10 mm die een stukje in het materiaal is gedrukt. De diepte van de indruk is $h$ (in mm).

Met behulp van figuur 3 kan het volgende verband tussen $h$ en $d$ worden gevonden:

$h=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}$

Opdracht 13: (5 punten)
Bewijs de juistheid van deze formule.

Aanpak:

Bij vragen met cirkels moeten we vaak wat doen met rechthoekige driehoeken. Hier is er in het plaatje direct één zichtbaar (zie het figuur hieronder waarin ik deze zijden in kleur heb opgeschreven):

De truc is dan om de zijden van deze driehoek in de gegeven letters uit te drukken. Dat lukt hier als volgt:

De groene zijde is de straal. Dat is dus $\frac{10}{2}=5$ .
De blauwe zijde is de helft van de lengte $d$ .
De rode zijde is de straal min het stukje $h$ .

Zodra je alle zijden in letters uitgedrukt hebt, kun je met Pythagoras een verband uitdrukken tussen $d$ en $h$ . Dat blijkt een kwadratische vergelijking in $h$ te zijn. Met de abc-formule of kwadraat afsplitsen vind je dan de gevraagde vergelijking.

Uitwerking met Pythagoras en abc-formule:

De straal van de cirkel is 5.
We hebben een rechthoekige driehoek met zijden 5, $\frac{1}{2}d$ en $5-h$ (zie voor een plaatje de aanpak).
Pythagoras in deze driehoek geeft $(\frac{1}{2}d)^2+(5-h)^2=5^2$
$\frac{1}{4}d^2+25-10h+h^2=25$
$h^2-10h+\frac{1}{4}d^2=0$
$D=(-10)^2-4\cdot \frac{1}{4}d^2=100-d^2$
De abc-formule geeft:
$h=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2\cdot 1}\vee h=\frac{10+\sqrt{100-d^2}}{2\cdot 1}$
Aangezien $h<5$ voldoet alleen $h=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}$

Uitwerking met Pythagoras en kwadraat afsplitsen:

De straal van de cirkel is 5.
We hebben een rechthoekige driehoek met zijden 5, $\frac{1}{2}d$ en $5-h$ (zie voor een plaatje de aanpak).
Pythagoras in deze driehoek geeft $(\frac{1}{2}d)^2+(5-h)^2=5^2$
$\frac{1}{4}d^2+25-10h+h^2=25$
$h^2-10h+\frac{1}{4}d^2=0$
$(h-5)^2-25+\frac{1}{4}d^2=0$
$(h-5)^2=25-\frac{1}{4}d^2$
$h-5=\sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}\vee h-5=-\sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}$
$h=5+\sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}\vee h=5-\sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}$
Aangezien $h<5$ voldoet alleen $h=5-\sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}$
$h=\frac{2\cdot 5-2\cdot \sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}}{2}$
$h=\frac{10-\sqrt{4}\cdot \sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}}{2}$
$h=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}$

Uitwerking met lijnstuk op twee manieren uitdrukken:

De straal van de cirkel is 5.
We hebben een rechthoekige driehoek met zijden 5, $\frac{1}{2}d$ .
De laatste zijde heeft dus een lengte van $\sqrt{5^2-(\frac{1}{2}d)^2}=\sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}$ .
De rode zijde uit de aanpak is nu zowel $5$ als $\sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}$ . Dit geeft $\sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}+h=5$
$h=5-\sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}$
$h=\frac{2\cdot 5-2\cdot \sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}}{2}$
$h=\frac{10-\sqrt{4}\cdot \sqrt{25-\frac{1}{4}d^2}}{2}$
$h=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}$

De hardheid volgens Brinell wordt aangeduid als HB. Deze hardheid wordt bepaald met de formule:

$HB=0{,}102\cdot \frac{F}{A}$

Hierbij is $F$ de kracht in newton (N) waarmee wordt gedrukt en $A$ de oppervlakte van het bolsegment dat in het materiaal is gedrukt in $\text{mm}^2$ .

Bij een hardheidsmeting wordt de kogel met een kracht van 29 400 N in het te testen materiaal gedrukt.

Opdracht 14: (5 punten)
Bereken voor welke waarde van $d$ de hardheid $HB$ van het materiaal 340 is. Rond je antwoord af op één decimaal.

Aanpak:

We hebben de waarde van $F$ en $HB$ gekregen en moeten daaruit de waarde van $d$ krijgen. Dat kan op twee manieren:

Manier 1: Vergelijkingen in elkaar substitueren
We kunnen de drie vergelijkingen $HB=0{,}102\cdot \frac{F}{A}$ , $A=10\pi h$ en $h=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}$ in elkaar substitueren. Vervolgens hebben we dan een vergelijking waarmee we in één keer de waarde van $d$ kunnen berekenen.
Manier 2: Waarden van variabelen één voor één berekenen
We kunnen ook eerst met $HB=0{,}102\cdot \frac{F}{A}$ de waarde van $A$ berekenen, dan met $A=10\pi h$ de waarde van $h$ berekenen en tot slot met $h=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}$ de waarde van $d$ berekenen.

In principe denk ik dat manier 1 wat sneller is (want je hebt maar één vergelijking), maar dat de vergelijking bij manier 2 er wat minder intimiderend uitziet. Dat gezegd hebbende mag je de vergelijking toch met de GR oplossen (want geen exact, algebraïsch of bewijs). Ik zou daarom zelf eerder voor manier 1 gaan.

Uitwerking met eerst substitueren:

$A=10\pi h$ , $HB=340$ en $F=29 400$ invullen in $HB=0{,}102\cdot \frac{F}{A}$ geeft $340=0{,}102\cdot \frac{29400}{10\pi h}$ .
Hier weer $h=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}$ in invullen geeft:
$340=0{,}102\cdot \frac{29400}{10\pi \cdot \frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}}$
Voer in: $\begin{cases}Y_1=340\\ Y_2=0{,}102\cdot \frac{29400}{10\pi \cdot \frac{10-\sqrt{100-x^2}}{2}}\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=3{,}303\ldots$
Afgerond op één decimaal is $d=3{,}3$ .

Uitwerking met vergelijkingen één voor één oplossen:

$HB=340$ en $F=29 400$ invullen in $HB=0{,}102\cdot \frac{F}{A}$ geeft $340=0{,}102\cdot \frac{29400}{A}$ .
Voer in $\begin{cases}Y_1=340\\ Y_2=0{,}102\cdot \frac{29400}{x}\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $A=8{,}82$
$A=8{,}82$ invullen in $A=10\pi h$ geeft:
$10\pi h=8{,}82$
$h=0{,}280\ldots$
$h=0{,}280\ldots$ invullen in $h=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}$ geeft $0{,}280\ldots=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}$
Voer in $\begin{cases}Y_1=0{,}280\ldots \\ Y_2=\frac{10-\sqrt{100-d^2}}{2}\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $x=3{,}303\ldots$
Afgerond op één decimaal is $d=3{,}3$ .

Pagina's: 1234567