2015 tijdvak 1 – Pagina 4

Asymptoten, perforatie en linkertop

Voor elke waarde van $a$ wordt de functie $f_a$ gegeven door:

$f_a(x)=\frac{4x^2-10x+4}{2x-a}$ met $x\neq \frac{1}{2}a$

De grafiek van $f_5$ heeft een verticale asymptoot en een scheve asymptoot. De twee asymptoten snijden elkaar onder een hoek $\beta$ met $\beta$ in graden. In de figuur is de grafiek van $f_5$ met de asymptoten en hoek $\beta$ weergegeven.

Opdracht 6: (4 punten)
Bereken algebraïsch de waarde van $\beta$ .

Aanpak:

Als eerste moeten we de scheve asymptoot opstellen. We hebben geleerd dat je dit doet door de functie te schrijven naar de vorm $f(x)=\frac{\text{iets}\cdot (2x-5)+\text{getal}}{2x-5}$ en vervolgens naar $f(x)=\text{iets}+\frac{\text{getal}}{2x-5}}$ . De scheve asymptoot is dan het stuk voor de breuk, omdat de breuk nadert naar 0 als $x$ heel groot wordt.

Zodra we de scheve asymptoot hebben, kunnen we op twee manieren de hoek tussen de lijnen berekenen:

De hoek tussen twee lijnen is altijd het verschil van de twee hellingshoeken. De hellingshoek van een verticale lijn is $90^{\circ}$ . We hoeven dus alleen nog de hellingshoek van de verticale asymptoot te berekenen en die van $90^{\circ}$ af te halen.
De hoek tussen twee richtingsvectoren $\overrightarrow{v}$ en $\overrightarrow{w}$ berekenen we met $\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{v}|\cdot |\overrightarrow{w}|}$

Uitwerking met hellingshoek:

$f_5(x)=\frac{4x^2-10x+4}{2x-5}$
$f_5(x)=\frac{2x(2x-5)+4}{2x-5}$
$f_5(x)=2x+\frac{4}{2x-5}$
De scheve asymptoot is $y=2x$ , omdat $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{4}{2x-5}=0$
Voor de hellingshoek $\alpha$ van $y=2x$ geldt $\tan(\alpha)=2$
$\alpha=\tan^{-1}(2)=63{,}434\ldots^{\circ}$
$\beta = 90^{\circ}-63{,}434\ldots^{\circ} \approx 26{,}6^{\circ}$

Uitwerking met hoek tussen richtingsvectoren:

$f_5(x)=\frac{4x^2-10x+4}{2x-5}$
$f_5(x)=\frac{2x(2x-5)+4}{2x-5}$
$f_5(x)=2x+\frac{4}{2x-5}$
De scheve asymptoot is $y=2x$ , omdat $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{4}{2x-5}=0$
De richtingsvector van $y=2x$ is $\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}$ .
De richtingsvector van de verticale asymptoot is $\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}$
Er geldt daarom: $\cos(\beta)=\frac{\begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix}\right|\cdot \left| \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\right|}$
$\cos(\beta)=\frac{1\cdot 0+2\cdot 1}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2}}$
$\cos(\beta)=\frac{2}{\sqrt{5}}$
$\beta = \cos^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) \approx 26{,}6^{\circ}$

Er zijn waarde van $a$ , zoals $a=5$ (zie figuur), waarvoor de grafiek van $f_a$ twee toppen heeft. De top met de kleinste $x$ -coördinaat noemen we de linkertop. Er is een waarde van $a$ waarvoor de linkertop op de $y$ -as ligt.

Opdracht 7: (7 punten)
Bereken exact voor welke waarde van $a$ de linkertop op de $y$ -as ligt.

Aanpak:

We moeten berekenen wanneer de linkertop op de $y$ -as ligt. Hiervoor is het logisch om eerst maar eens te berekenen voor welke waarde van $a$ er überhaupt een top op de $y$ -as ligt. Een top hebben we bij $f'(x)=0$ . Als we die top op de $y$ -as willen, moet dus gelden $f'(0)=0$ . Deze vergelijking oplossen geeft alleen $a=\frac{4}{5}$ . Aangezien de vraag al weggeeft dat er een waarde van $a$ is waarvoor de linkertop op de $y$ -as ligt, kan dat dus alleen nog maar $a=\frac{4}{5}$ zijn en is de vraag daarmee beantwoord.

Bovenstaande redenering is wat de meeste leerlingen en collega’s doen die ik deze vraag voorleg. De examenmakers hadden echter het idee dat de vraag opgelost moest worden door eerst in het algemeen $x_{\text{linkertop}}$ te berekenen en die gelijk te stellen aan 0. Dat is een stuk ingewikkelder, zoals aan de uitwerking te zien is. De vraag bleek dus een stuk eenvoudiger te zijn dan die bedoeld was. Vandaar dat je ook relatief weinig hoeft te doen voor 7 punten.

Uitwerking met $f'(0)=0$ :

$f_a'(x)=\frac{(2x-a)(8x-10)-(4x^2-10x+4)\cdot 2}{(2x-a)^2}$
We kunnen alleen een top op de $y$ -as hebben als $f'(0)=0$ .
Dat geeft $\frac{(2\cdot 0-a)(8\cdot 0-10)-(4\cdot 0^2-10\cdot 0+4)\cdot 2}{(2\cdot 0-a)^2}=0$
$\frac{(-a)(-10)-(4)\cdot 2}{(-a)^2}=0$
$\frac{10a-8}{a^2}=0$
$10a-8=0$
$10a=8$
$a=\frac{4}{5}$
Conclusie: Bij $a=\frac{4}{5}$ zit de linkertop op de $y$ -as.

NB: Feitelijk hebben we in deze uitwerking niet laten zien of bij $a=\frac{4}{5}$ de linker- of de rechtertop op de $y$ -as zit. Aangezien in de vraag echter al gegeven is dat voor een $a$ de linkertop op de $y$ -as zit en we alleen voor $a=\frac{4}{5}$ een top op de $y$ -as krijgen, mag je zonder verder argument zeggen dat dit de linkertop is.

Uitwerking met $x$ -coördinaat linkertop uitdrukken in $a$ :

$f_a'(x)=\frac{(2x-a)(8x-10)-(4x^2-10x+4)\cdot 2}{(2x-a)^2}$
$f_a'(x)=\frac{16x^2-20x-8ax+10a-8x^2+20x-8}{(2x-a)^2}$
$f_a'(x)=\frac{8x^2-8ax+10a-8}{(2x-a)^2}$
Voor de toppen geldt $f_a'(x)=0$ . Dat geeft $\frac{8x^2-8ax+10a-8}{(2x-a)^2}=0$
$8x^2-8ax+10a-8=0$
$D=(-8a)^2-4\cdot 8\cdot (10a-8)$
$D=64a^2-320a+256$
$x_{\text{linkertop}}=\frac{8a-\sqrt{64a^2-320a+256}}{2\cdot 8}\vee x_{\text{rechtertop}}=\frac{8a+\sqrt{64a^2-320a+256}}{2\cdot 8}$
$x_{\text{linkertop}}=0$ geeft $\frac{8a-\sqrt{64a^2-320a+256}}{2\cdot 8}=0$
$8a-\sqrt{64a^2-320a+256}=0$
$8a=\sqrt{64a^2-320a+256}$
$64a^2=64a^2-320a+256$
$320a=256$
$a=\frac{4}{5}$

Er zijn twee waarden van $a$ waarvoor de grafiek van $f_a$ een lijn met een perforatie is.

Opdracht 8: (6 punten)
Bereken exact, voor de grootst van die twee waarden van $a$ , de coördinaten van de perforatie.

Aanpak:

Een perforatie kan alleen gebeuren als $\begin{cases}\text{teller} = 0\\ \text{noemer} =0 \end{cases}$ . De vergelijking $\text{teller} = 0$ is hier het gemakkelijkst, omdat hier maar één variabele in staat. Deze los je dus eerst op. Vervolgens vul je de gevonden waarden van $x$ in $\text{noemer}=0$ in om uit te zoeken bij welke waarden van $a$ er een perforatie is.

Vervolgens moeten we de coördinaten van de perforatie nog berekenen. Hierbij hebben we geleerd dat je altijd de teller en de noemer moeten ontbinden en dat er altijd een gemeenschappelijke factor in de teller en de noemer komt te staan. Aangezien je in de noemer de factor $x-2$ krijgt, zul je deze factor in de teller dus ook moeten krijgen en daarmee is de ontbinding wel te beredeneren (nog gemakkelijker is die als je onthouden hebt dat de oplossingen van $\text{teller} =0$ gelijk zijn aan $x=2\vee x=\frac{1}{2}$ . Dit vertelt je namelijk dat de ontbinding van de vorm $\text{getal}(x-2)(x-\frac{1}{2})$ zal zijn).

Uitwerking met teller en noemer ontbinden:

Er is een perforatie als $\begin{cases}4x^2-10x+4=0\\ 2x-a=0\end{cases}$
$4x^2-10x+4=0$ geeft $x^2-2\frac{1}{2}x+1=0$
$(x-2)(x-\frac{1}{2})=0$
$x=2\vee x=\frac{1}{2}$
$x=2$ invullen in $2x-a=0$ geeft $a=4$
$x=\frac{1}{2}$ invullen in $2x-a=0$ geeft $a=1$
De grootste waarde van $a$ waarvoor er een perforatie is, is dus $a=4$ . De perforatie is dan bij $x=2$
$f_4(x)=\frac{4x^2-10x+4}{2x-4}$
$f_4(x)=\frac{4(x^2-2\frac{1}{2}x+1)}{2(x-2)}$
$f_4(x)=\frac{4(x-2)(x-\frac{1}{2})}{2(x-2)}$
$f_4(x)=\frac{4(x-\frac{1}{2})}{2}$ (als $x\neq 2$ )
$f_4(x)=2x-1$ (als $x\neq 2$ )
We hebben $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} f_4(x)=2\cdot 2-1=3$
De perforatie bij $a=4$ is dus $(2,3)$ .

Uitwerking met breuk splitsen:

Er is een perforatie als $\begin{cases}4x^2-10x+4=0\\ 2x-a=0\end{cases}$
$4x^2-10x+4=0$ geeft $x^2-2\frac{1}{2}x+1=0$
$(x-2)(x-\frac{1}{2})=0$
$x=2\vee x=\frac{1}{2}$
$x=2$ invullen in $2x-a=0$ geeft $a=4$
$x=\frac{1}{2}$ invullen in $2x-a=0$ geeft $a=1$
De grootste waarde van $a$ waarvoor er een perforatie is, is dus $a=4$ . De perforatie is dan bij $x=2$
$f_4(x)=\frac{4x^2-10x+4}{2x-4}$
$f_4(x)=\frac{2x(2x-4)-2x+4}{2x-4}$
$f_4(x)=2x+\frac{-2x+4}{2x-4}$
$f_4(x)=2x+\frac{-(2x-4)}{2x-4}$
$f_4(x)=2x-1$ (als $x\neq 2$ )
We hebben $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} f_4(x)=2\cdot 2-1=3$
De perforatie bij $a=4$ is dus $(2,3)$ .

Pagina's: 1234567