2015 tijdvak 1 – Pagina 2

Wortelfuncties

In de figuur zijn de grafieken getekend van de functies $f$ en $g$ gegeven door $f(x)=\sqrt{x}$ en $g(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}$ . Verder zijn de lijnen getekend met vergelijkingen $x=a$ en $x=4$ , met $0<a<4$ .

In figuur 1 zijn twee vlakdelen grijs gemaakt. Het ene grijze vlakdeel wordt begrensd door de grafieken van $f$ en $g$ en de lijn met vergelijking $x=a$ . Het andere grijze vlakdeel wordt begrensd door de grafiek van $g$ , de $x$ -as en de lijnen met vergelijking $x=a$ en $x=4$ .

Opdracht 1: (6 punten)
Bereken exact voor welke waarden van $a$ deze vlakdelen gelijke oppervlakte hebben.

Aanpak:

We moeten berekenen wanneer twee oppervlaktes gelijk zijn. De meest voor de hand liggende aanpak daarbij is:

Druk de oppervlakte van het linker gebied (met behulp van een integraal) uit in $a$ .
Druk de oppervlakte van het rechter gebied uit in $a$ .
Stel deze oppervlaktes gelijk aan elkaar en los de vergelijking op.

Hierbij krijg je op het eind de vergelijking $a^{\frac{3}{2}}=4$ . Let er daarbij op dat je niet een antwoord geeft als $a=\sqrt[\frac{3}{2}]{4}$ . De wortel-notatie bestaat namelijk alleen met een positief geheel getal linksboven de wortel. De truc voor het oplossen van de vergelijking $a^{\frac{3}{2}}=4$ is daarom om eerst te kwadrateren en dan pas de derdemachtswortel te nemen.

Uitwerking met oppervlaktes gebieden gelijkstellen:

De oppervlakte van het linker gebied is $I_{\text{links}}=\int_0^a (\sqrt{x}-\frac{1}{2}\sqrt{x})\text{dx}$
$I_{\text{links}}=\int_0^a \frac{1}{2}\sqrt{x}\text{dx}$
$I_{\text{links}}=\int_0^a \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}\text{dx}$
$I_{\text{links}}=\left[\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\right]_0^a$
$I_{\text{links}}=\frac{1}{3}a^{\frac{3}{2}}$
De oppervlakte van het rechter gebied is $I_{\text{rechts}}=\int_a^4 (\frac{1}{2}\sqrt{x})\text{dx}$
$I_{\text{rechts}}=\left[\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\right]_a^4$
$I_{\text{rechts}}=\frac{1}{3}\cdot 4^{\frac{3}{2}} -\frac{1}{3}\cdot a^{\frac{3}{2}} = \frac{8}{3}-\frac{1}{3}a^{\frac{3}{2}}$
$I_{\text{links}}=I_{\text{rechts}}$ geeft $\frac{1}{3}a^{\frac{3}{2}}= \frac{8}{3}-\frac{1}{3}a^{\frac{3}{2}}$
$\frac{2}{3}a^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{3}$
$a^{\frac{3}{2}}=4$
Kwadrateren geeft $a^3=16$
$a=\sqrt[3]{16}$

Uitwerking met links is de helft van alles:

Aangezien $f(x)=2\cdot g(x)$ is de oppervlakte onder $g(x)$ gelijk aan de oppervlakte tussen $g(x)$ en $f(x)$ .
De oppervlakte van $0$ tot $a$ onder $g$ moet dus gelijk zijn aan de helft van de totale oppervlakte onder $g$ t/m $x=4$ .
Er moet dus gelden: $\displaystyle \int_0^a g(x) \text{dx} = \frac{1}{2} \int_0^4 g(x)\text{dx}$
$\displaystyle \int_0^a \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} \text{dx} = \frac{1}{2} \int_0^4 \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}\text{dx}$
$\left[\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\right]_0^a=\frac{1}{2} \cdot \left[\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\right]_0^4$
$\frac{1}{3}a^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot 4^{\frac{3}{2}}$
$\frac{1}{3}a^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{3}$
$a^3{\frac{3}{2}}=4$
Kwadrateren geeft $a^3=16$
$a=\sqrt[3]{16}$

Gegeven is het punt $A(2,0)$ . Bij elk punt $P$ op de grafiek van $f$ kan het midden van lijnstuk $AP$ worden bepaald. Dat midden noemen we $M$ . Verder is de functie $h$ gegeven door $h(x)=\sqrt{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}$ .
In figuur 2 zijn de grafieken van $f$ en $h$ getekend. Ook is voor een punt $P$ het lijnstuk $AP$ met midden $M$ getekend.

Er geldt: voor elk punt $P$ op de grafiek van $f$ ligt het punt $M$ op de grafiek van $h$ .

Opdracht 2: (4 punten)
Bewijs dit.

Aanpak:

Als een punt op de grafiek gegeven is, is meestal de truc om het $x$ -coördinaat van dat punt $p$ te noemen. Je drukt dan vervolgens de rest van het plaatje te beginnen met het $y$ -coördinaat van dat punt uit in $p$ .

Hier is het punt dat gegeven is het punt $P$ op de grafiek van $f$ . We hebben dus $P(p,f(p))$ . Het volgende wat we nodig lijken te hebben, zijn de coördinaten van $M$ . Die drukken we dus ook in $p$ uit met $M(\frac{1}{2}(x_P+x_A), \frac{1}{2}(y_P+y_A))$ .

Vervolgens moeten we kijken of $M$ op $h(x)$ ligt. De eenvoudigste manier om dat te doen, is door het punt gewoon in $h(x)$ in te vullen en te kijken of we de vergelijking die dit oplevert, kunnen omschrijven naar iets als $0=0$ . Als dat het geval is, klopt de vergelijking altijd en moet $M$ op de grafiek van $h(x)$ liggen.

Uitwerking met $M$ invullen in $h$ :

$P(p,\sqrt{p})$
$M(\frac{1}{2}(x_P+x_A), \frac{1}{2}(y_P+y_A))$
$M(\frac{1}{2}(p+2), \frac{1}{2}(\sqrt{p}+0))$
$M(\frac{1}{2}p+1, \frac{1}{2}\sqrt{p})$
$M$ invullen in $h(x)$ geeft $\frac{1}{2}\sqrt{p}=\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}p+1)-\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{2}\sqrt{p} = \sqrt{\frac{1}{4}p+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{2}\sqrt{p}=\sqrt{\frac{1}4}p}$
$\frac{1}{2}\sqrt{p}=\sqrt{\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{p}$
$\frac{1}{2}\sqrt{p}=\frac{1}{2}\sqrt{p}$
Deze vergelijking klopt voor iedere waarde van $p\geq 0$ . Dus ligt $M$ altijd op de grafiek van $h$ .

Uitwerking met coördinaten $M$ herschrijven tot lijn:

$P(p,\sqrt{p})$
$M(\frac{1}{2}(x_P+x_A), \frac{1}{2}(y_P+y_A))$
$M(\frac{1}{2}(p+2), \frac{1}{2}(\sqrt{p}+0))$
$M(\frac{1}{2}p+1, \frac{1}{2}\sqrt{p})$
$x_M=\frac{1}{2}p+1$
$\frac{1}{2}p=x_M-1$
$p=2x_M-2$
Dit weer invullen in $y_M=\frac{1}{2}\sqrt{p}$ geeft
$y_M=\frac{1}{2}\sqrt{2x_M-2}$
$y_M=\sqrt{\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{2x_M-2}$
$y_M=\sqrt{\frac{1}{4}(2x_M-2)}$
$y_M=\sqrt{\frac{1}{2}x_M-\frac{1}{2}}$
Conclusie: Het punt $M$ ligt altijd op $y=\sqrt{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}$ .

Pagina's: 1234567