2015 tijdvak 1 – Pagina 3

Cirkels en lijnstuk

Over de cirkel met middelpunt $(0,0)$ en straal 1 beweegt een punt $A$ met bewegingsvergelijkingen:

$\begin{cases}x(t)=\sin(t)\\ y(t)=\cos(t)\end{cases}\quad\text{ met } 0\leq t\leq 2\pi$

Over de cirkel met middelpunt $(0,0)$ en straal 2 beweegt een punt $B$ met bewegingsvergelijkingen:

$\begin{cases}x(t)=2\sin(2t)\\ y(t)=2\cos(2t)\end{cases}\quad\text{ met } 0\leq t\leq 2\pi$

In de figuren 1 en 2 zijn de twee cirkel en het lijnstuk $AB$ getekend voor de tijdstippen $t=0$ en $t=2$ .

Op de tijdstippen waarop $B$ zich op de $x$ -as bevindt, bevindt $A$ zich op de lijn met vergelijking $y=x$ of op de lijn met vergelijking $y=-x$ .

Opdracht 3: (5 punten)
Bewijs dit.

Formuleblad:

Aanpak:

De meest voor de hand liggende manier om deze vraag op te lossen is door eerst de tijdstippen te berekenen dat $B$ op de $x$ -as zit met $y_B=0$ . Vervolgens bereken je de coördinaten van $A$ op deze tijdstippen. Als al deze punten $A$ op de lijn $y=x$ of $y=-x$ zitten, ben je klaar en kun je de conclusie trekken.

Overigens is de alternatieve oplossing sneller. Die maakt slim gebruik van het feit dat je weet dat je op $y_A=x_A \vee y_A=-x_A$ wilt uitkomen. Dat houdt in dat je $\cos(x)=\sin(x)\vee \cos(x)=-\sin(x)$ wilt krijgen. Dat kun je direct krijgen uit $\cos(2x)=0$ , het formuleblad en kennis van het merkwaardige product $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ .

Uitwerking met $t$ -waarden snijpunt met $x$ -as berekenen:

$y_B=0$ geeft $2\cos(2t)=0$
$\cos(2t)=0$
$2t=\frac{1}{2}\pi+k\cdot \pi$
$t=\frac{1}{4}\pi+k\cdot \frac{1}{2}\pi$
Op $0\leq t\leq 2\pi$ geeft dat $t=\frac{1}{4}\pi\vee t=\frac{3}{4}\pi\vee t=1\frac{1}{4}\pi\vee t=1\frac{3}{4}\pi$
Voor punt $A$ geldt op die tijdstippen dan:
$\overrightarrow{s(\frac{1}{4}\pi)}=\begin{pmatrix}\sin(\frac{1}{4}\pi)\\ \cos(\frac{1}{4}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(\frac{3}{4}\pi)}=\begin{pmatrix}\sin(\frac{3}{4}\pi)\\ \cos(\frac{3}{4}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ -\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(1\frac{1}{4}\pi)}=\begin{pmatrix}\sin(1\frac{1}{4}\pi)\\ \cos(1\frac{1}{4}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ -\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{s(1\frac{3}{4}\pi)}=\begin{pmatrix}\sin(\frac{1}{4}\pi)\\ \cos(\frac{1}{4}\pi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{pmatrix}$
De punten $(\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2})$ en $(-\frac{1}{2}\sqrt{2}, -\frac{1}{2}\sqrt{2})$ liggen op de lijn $y=x$ en de punten $(-\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2})$ en $(\frac{1}{2}\sqrt{2}, -\frac{1}{2}\sqrt{2})$ liggen op $y=-x$ .
Conclusie: Als $B$ op de $x$ -as is, bevindt $A$ zich op $y=x$ of $y=-x$ .

Uitwerking met $y_B=0$ herschrijven:

$y_B=0$ geeft $2\cos(2t)=0$
$\cos(2t)=0$
Met het formuleblad wordt dit $\cos^2(t)-\sin^2(t)=0$
Dit ontbindt tot $(\cos(t) - \sin(t))(\cos(t)+\sin(t))=0$
Dit geeft $\cos(t)-\sin(t)=0\vee \cos(t)+\sin(t)=0$
$\cos(t)=\sin(t)\vee \cos(t)=-\sin(t)$
Hierin $x_A(t)=\sin(t)$ en $y_A=\cos(t)$ invullen geeft:
$y_A(t)=x_A(t)\vee y_A(t)=-x_A(t)$
Conclusie: Als $B$ op de $x$ -as is, bevindt $A$ zich op $y=x$ of $y=-x$ .

In figuur 3 is het lijnstuk $AB$ getekend op een tijdstip waarop het horizontaal is en boven de $x$ -as ligt.

Er zijn twee tijdstippen waarop het lijnstuk $AB$ horizontaal is en onder de $x$ -as ligt.

Opdracht 4: (6 punten)
Bereken voor één van deze tijdstippen de coördinaten van $A$ , afgerond op één decimaal, en teken het bijbehorende lijnstuk $AB$ in de figuur op de uitwerkbijlage.

Aanpak:

Lijnstuk $AB$ is horizontaal als $y_A=y_B$ . Die vergelijking moeten we dus oplossen. Aangezien er geen exact, algebraïsch of bewijs in de opgave staat, mag dit met de grafische rekenmachine. Dit geeft vier oplossingen voor $t$ . Vervolgens moeten we met proberen erachter komen bij welke van deze oplossingen $A$ en $B$ onder de $x$ -as liggen. Zodra we zo’n tijdstip gevonden hebben, berekenen we de coördinaten van $A$ en $B$ . Tot slot tekenen we deze op de uitwerkbijlage samen met het lijnstuk $AB$ .

Uitwerking met $t=2{,}2056\ldots$ :

$y_A=y_B$ geeft $\cos(t)=2\cos(2t)$
Voer in $\begin{cases}Y_1=\cos(x)\\ Y_2=2\cos(2x)\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $t=0{,}5678\ldots\vee t=2{,}2056\ldots \vee t=4{,}0775\ldots \vee t=5{,}7153\ldots$
$x_A(2{,}2056\ldots)=\sin(2{,}2056\ldots)\approx 0{,}8$
$y_A(2{,}2056\ldots)=\cos(2{,}2056\ldots)\approx -0{,}6$
Dus $A(0{,}8, -0{,}6)$
$x_B(2{,}2056\ldots)=2\sin(2\cdot 2{,}2056\ldots)\approx -1{,}9$
$y_B(2{,}2056\ldots)=y_A \approx -0{,}6$
Het maken van de volgende tekening op de uitwerkbijlage:

Uitwerking met $t=4{,}0775\ldots$ :

$y_A=y_B$ geeft $\cos(t)=2\cos(2t)$
Voer in $\begin{cases}Y_1=\cos(x)\\ Y_2=2\cos(2x)\end{cases}$
Optie snijpunt geeft $t=0{,}5678\ldots\vee t=2{,}2056\ldots \vee t=4{,}0775\ldots \vee t=5{,}7153\ldots$
$x_A(4{,}0775\ldots)=\sin(4{,}0775\ldots)\approx -0{,}8$
$y_A(4{,}0775\ldots)=\cos(4{,}0775\ldots)\approx -0{,}6$
Dus $A(-0{,}8, -0{,}6)$
$x_B(4{,}0775\ldots)=2\sin(2\cdot 4{,}0775\ldots)\approx 1{,}9$
$y_B(4{,}0775\ldots)=y_A \approx -0{,}6$
Het maken van de volgende tekening op de uitwerkbijlage:

Op het interval $\langle 0, \pi \rangle$ is er één tijdstip waarop lijnstuk $AB$ raakt aan de kleinste cirkel. Zie figuur 4.

Op dit tijdstip staat de vector $\overrightarrow{AB}$ loodrecht op de vector $\overrightarrow{OA}$ .

Opdracht 5: (6 punten)
Bereken exact dit tijdstip.

Formuleblad:

Aanpak:

Feitelijk moeten we berekenen wanneer $\angle OAB=90^{\circ}$ . Zoiets kan eigenlijk altijd op vier manieren:

Door te berekenen wanneer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OA}=0$
Door te berekenen wanneer $a_{AB}\cdot a_{OA}=-1$
Door te berekenen wanneer $A$ op de cirkel met middellijn $OB$ ligt (hier gebruik je Thales)
Door te berekenen wanneer de stelling van Pythagoras geldt in $\triangle OAB$

Dat gezegd hebbende is er vaak een manier die het meest voor de hand ligt in een opgave. Dat is hier het inproduct van de vectoren gelijkstellen aan nul, omdat ze het in de opgave al over de vectoren hebben. Je weet dus van tevoren dat die manier in ieder geval wel mooi uit zal komen.

Ongeacht welke van de bovenstaande vier vergelijken je gebruikt, kom je altijd uit op een brei van sinussen en cosinussen. De truc op het examen is dan vaak om een combinatie te gebruiken van $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ en formules die op het formuleblad staan. Voor leerlingen ligt vaak de oplossing waarbij je $\sin(2x)$ en $\cos(2x)$ invult het meest voor de hand (zie oplossing 2 hieronder). Nog sneller gaat het echter als je herkent dat je een som hebt van de vorm $\cos(t)\cos(u)+\sin(t)\sin(u)$ en dat dit overeen komt met de formule voor $\cos(t-u)$ van het formuleblad.

Uitwerking met inproduct = 0 en de formule voor $\cos(t-u)$ :

$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}\sin(t)\\ \cos(t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\sin(2t)\\ \2\cos(2t)\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\sin(t)\\ \cos(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\sin(2t)-\sin(t)\\ 2\cos(2t)-\cos(t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OA}=0$ geeft $\begin{pmatrix}2\sin(2t)-\sin(t)\\ 2\cos(2t)-\cos(t)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\sin(t)\\ \cos(t)\end{pmatrix} = 0$
$(2\sin(2t)-\sin(t))\sin(t)+(2\cos(2t)-\cos(t))\cos(t)=0$
$2\sin(2t)\sin(t)-\sin^2(t)+2\cos(2t)\cos(t)-\cos^2(t)=0$
$2\cos(2t)\cos(t)+2\sin(2t)\sin(t)=\sin^2(t)+\cos^2(t)$
$2\cos(2t)\cos(t)+2\sin(2t)\sin(t)=1$
$\cos(2t)\cos(t)+\sin(2t)\sin(t)=\frac{1}{2}$
Met de formule $\cos(t-u)$ van het formuleblad wordt dit:
$\cos(2t-t)=\frac{1}{2}$
$\cos(t)=\frac{1}{2}$
$t=\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee t=1\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi$
Op het interval $\langle 0, \pi \rangle$ is dit dus op het tijdstip $t=\frac{1}{3}\pi$ .

Uitwerking met inproduct = 0 en de verdubbelingsformules:

$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}\sin(t)\\ \cos(t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\sin(2t)\\ \2\cos(2t)\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\sin(t)\\ \cos(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\sin(2t)-\sin(t)\\ 2\cos(2t)-\cos(t)\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OA}=0$ geeft $\begin{pmatrix}2\sin(2t)-\sin(t)\\ 2\cos(2t)-\cos(t)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\sin(t)\\ \cos(t)\end{pmatrix} = 0$
$(2\sin(2t)-\sin(t))\sin(t)+(2\cos(2t)-\cos(t))\cos(t)=0$
$2\sin(2t)\sin(t)-\sin^2(t)+2\cos(2t)\cos(t)-\cos^2(t)=0$
$2\cos(2t)\cos(t)+2\sin(2t)\sin(t)=\sin^2(t)+\cos^2(t)$
$2\cos(2t)\cos(t)+2\sin(2t)\sin(t)=1$
$\cos(2t)\cos(t)+\sin(2t)\sin(t)=\frac{1}{2}$
Met de formules $\sin(2t)=2\sin(t)\cos(t)$ en $\cos(2t)=1-2\sin^2(t)$ van het formuleblad wordt dit:
$(1-2\sin^2(t))\cos(t)+2\sin(t)\cos(t)\cdot \sin(t)=\frac{1}{2}$
$\cos(t)-2\sin^2(t)\cos(t)+2\sin^2(t)\cos(t)=\frac{1}{2}$
$\cos(t)=\frac{1}{2}$
$t=\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee t=1\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi$
Op het interval $\langle 0, \pi \rangle$ is dit dus op het tijdstip $t=\frac{1}{3}\pi$ .

Uitwerking met $a_{AB}\cdot a_{OA}=-1$ :

$a_{OA}=\frac{y_A}{x_A}=\frac{\cos(t)}{\sin(t)}$
$a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2\cos(2t)-\cos(t)}{\sin(2t)-\sin(t)}$
De vectoren $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{OA}$ staan loodrecht als $\angle OAB=90^{\circ}$ . Als dat het geval is, geldt $a_{AB}\cdot a_{OA}=-1$ . Dit geeft $\frac{2\cos(2t)-\cos(t)}{\sin(2t)-\sin(t)}\cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)}=-1$
$\frac{2\cos(2t)\cos(t)-\cos^2(t)}{2\sin(2t)\sin(t)-\sin^2(t)}=-1$
$2\cos(2t)\cos(t)-cos^2(t)=-2\sin(2t)\sin(t)+\sin^2(t)$
$2\cos(2t)\cos(t)+2\sin(2t)\sin(t)=\sin^2(t)+\cos^2(t)$
$2\cos(2t)\cos(t)+2\sin(2t)\sin(t)=1$
$\cos(2t)\cos(t)+\sin(2t)\sin(t)=\frac{1}{2}$
Met de formule $\cos(t-u)$ van het formuleblad wordt dit:
$\cos(2t-t)=\frac{1}{2}$
$\cos(t)=\frac{1}{2}$
$t=\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee t=1\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi$
Op het interval $\langle 0, \pi \rangle$ is dit dus op het tijdstip $t=\frac{1}{3}\pi$ .

Uitwerking met Thales:

Het midden $M$ van $OB$ heeft coördinaten $M(\frac{1}{2}x_B, \frac{1}{2}y_B)= (\sin(2t),\cos(2t))$
$OB=2$ , want $B$ ligt op de cirkel met straal 2 en middelpunt $O$ .
$BM=\frac{1}{2}\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 2=1$
De cirkel met middelllijn $OB$ heeft als vergelijking $(x-\sin(2t))^2+(y-\cos(2t))^2=1$
De vectoren $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{OA}$ staan loodrecht als $\angle OAB=90^{\circ}$ . Als dat het geval is, ligt $A$ op de cirkel met middellijn $OB$ . Punt $A$ hierin invullen geeft: $(\sin(t)-\sin(2t))^2+(\cos(t)-\cos(2t))^2=1$
Haakjes uitwerken geeft:
$\sin^2(t)-2\sin(2t)\sin(t)+\sin^2(2t)+\cos^2(t)-2\cos(2t)\cos(t)+\cos^2(2t)=1$
$\scriptstyle(\sin^2(2t)+\cos^2(2t))+(\sin^2(t)+\cos^2(t))-2(\cos(2t)\cos(t)+\sin(2t)\sin(t))=1$
Met $\sin^2(A)+\cos^2(A)=1$ en de formule $\cos(t-u)$ van het formuleblad wordt dit:
$1+1-2\cos(2t-t)=1$
$-2\cos(t)=-1$
$\cos(t)=\frac{1}{2}$
$t=\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee t=1\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi$
Op het interval $\langle 0, \pi \rangle$ is dit dus op het tijdstip $t=\frac{1}{3}\pi$ .

Uitwerking met Pythagoras:

$OA=1$ , want $A$ ligt op de cirkel met straal 1 en middelpunt $O$ .
$OB=2$ , want $B$ ligt op de cirkel met straal 2 en middelpunt $O$ .
$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$
$AB^2=(2\sin(2t)-\sin(t))^2+(2\cos(2t)-\cos(t))^2$
De vectoren $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{OA}$ staan loodrecht als $\angle OAB=90^{\circ}$ . Als dat het geval is, geldt Pythagoras in $\triangle OAB$ . Dat geeft: $OA^2+AB^2=OB^2$
$1+(2\sin(2t)-\sin(t))^2+(2\cos(2t)-\cos(t))^2=4$
Haakjes uitwerken geeft:
$\scriptstyle 1+ 4\sin^2(2t)-4\sin(2t)\sin(t)+\sin^2(t)+4\cos^2(2t)-4\cos(2t)\cos(t)+\cos^2(t)=4$
$\scriptstyle 1+4(\sin^2(2t)+\cos^2(2t))+(\sin^2(t)+\cos^2(t))-4(\cos(2t)\cos(t)+\sin(2t)\sin(t))=4$
Met $\sin^2(A)+\cos^2(A)=1$ en de formule $\cos(t-u)$ van het formuleblad wordt dit:
$4+1-4\cos(2t-t)=3$
$-4\cos(t)=-2$
$\cos(t)=\frac{1}{2}$
$t=\frac{1}{3}\pi+k\cdot 2\pi \vee t=1\frac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi$
Op het interval $\langle 0, \pi \rangle$ is dit dus op het tijdstip $t=\frac{1}{3}\pi$ .

Pagina's: 1234567