Les 6: Complex vlak – Pagina 4

Formule van Euler

Op de vorige pagina hebben we gezien dat we het complexe getal met poolcoördinaten $(r,\theta)$ kunnen schrijven als $r\cos(\theta)+r\sin(\theta)i)=r\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)$ . In de vorige les hebben we al geleerd dat $\cos(\theta)+i\sin(\theta)=e^{\theta i}$ . Dit combineren geeft dat we een complex getal met poolcoördinaten $(r,\theta)$ kunnen opschrijven als $r\cdot e^{\theta i}$ . Dat is de vorm die we vanaf nu zullen gebruiken.

Opdracht 7:
a) Schrijf $3+4i$ in de vorm $r\cdot e^{\theta i}$ . Rond $\theta$ zo nodig af op drie decimalen.
b) Schrijf $-2-5i$ in de vorm $r\cdot e^{\theta i}$ . Rond $\theta$ zo nodig af op drie decimalen.
c) Schrijf $6e^{\frac{1}{4}\pi}$ in de vorm $a+bi$ . Geef een exact antwoord.

Het patroon wat je op pagina 2 ontdekt hebt, kun je als volgt in poolcoördinaten opschrijven:
Als $z_1\cdot z_2=z_3$ , dan geldt dat $r_1\cdot r_2=r_3$ en $\theta_1+\theta_2=\theta_3$ .

Opdracht 8:
Vermenigvuldig $z_1=r_1e^{\theta i}$ en $z_2=r_2e^{\theta i}$ met elkaar en laat daarmee de stelling zien die hierboven staat.

Vanwege de eigenschap hierboven is het gemakkelijker om getallen te vermenigvuldigen en delen als ze in de vorm $r\cdot e^{\theta i}$ staan. Daarentegen is het simpeler om getallen op te tellen als ze in de vorm $a+bi$ staan.

Opdracht 9:
a) Bereken $2e^{\frac{1}{5}\pi}+3e^{1}{6}\pi$ . Rond af op twee decimalen.
b) Bereken $(1+i)^{2026}$ exact. Zet hiervoor eerst $1+i$ met de exacte-waarden-cirkel om naar de vorm $re^{\theta i}$ .
c) Bereken $(1+\sqrt{3}i)^{515}$ exact.

Pagina's: 1234