Les 6: Complex vlak – Pagina 2

Vermenigvuldigen met een complexe getal

Een interessante vraag is waar getallen terecht komen na een vermenigvuldiging met $i$ . Dit ga je in de volgende opgave uitzoeken.

Opdracht 2:
a) Teken $z_1=3+2i$ in het complexe vlak. We krijgen $z_2$ door $z_2=z_1\cdot i$ te doen. Bereken $z_2$ en teken hem vervolgens in het complexe vlak (dit is $z_2$ ).
b) Bereken en teken op dezelfde manier ook $z_3=z_2\cdot i$ , $z_4=z_3\cdot i$ en $z_5=z_4\cdot i$ .
c) Wat gebeurt er meetkundig met een getal als je die vermenigvuldigd met $i$ ?

Uitwerking:

$z_2=(3+2i)\cdot i = 3i+2i^2=-2+3i$
$z_3=(-2+3i)\cdot i = -2i+3i^2=-3-2i$
$z_4=(-3-2i)\cdot i = -3i-2i^2=2-3i$
$z_5=(2-3i)\cdot i = 2i-3i^2=3+2i$

Dat geeft de tekening:

We zien hierin dat vermenigvuldigen met $i$ betekent dat je 90 graden draait tegen de klok in.

Misschien heb je je bij wiskunde B wel eens afgevraagd waarom hoeken tegen de klok in als positief gezien worden. Bovenstaande opdracht geeft samen met opdracht 4 en 5 een antwoord op deze vraag.

Probeer nu eerst de volgende vraag te beantwoorden met behulp van de inzichten van de vorige opdracht.

Opdracht 3:
Bereken $2\cdot i^{2026}$ .

Uitwerking:

We hebben in opdracht 2 gezien dat $i^4=1$ . Er geldt daarom dat $2\cdot i^{2026}=2\cdot i^{2024}\cdot i^2=2\cdot (i^4)^{506}\cdot i^2=2\cdot 1\cdot -1=-2$ .

Opdracht 4:
a) Teken $z_1=2$ in het complexe getal. Bereken dan $z_2=z_1(1+i)$ en teken de uitkomst in het complexe vlak.
b) Bereken en teken ook $z_3=z_2(1+i)$ , $z_4=z_3(1+i)$ , $z_5=z_4(1+i)$ en $z_6=z_5(1+i)$ .
c) Wat gebeurt er meetkundig met een getal als je die vermenigvuldigd met $1+ i$ ?
d) Wat heeft deze transformatie met het getal $1+i$ te maken?

Uitwerking a t/m c:

$z_2=2(1+i)=2+2i$
$z_3=(2+2i)(1+i)=2+2i+2i-2=4i$
$z_4=4i(1+i)=4i-4=-4+4i$
$z_5=(-4+4i)(1+i)=-4-4i+4i-4=-8$
$z_6=-8(1+i)=-8-8i$

Daarbij ziet het complexe vlak er als volgt uit:

We zien dat ieder complex getal steeds 45 graden gedraait is ten opzichte van het vorige. Daarnaast zit ieder complex getal steeds verder van de oorsprong af. Als we met Pythagoras deze afstanden berekenen krijgen we:

$|z_1|=2</li>   <li>[latex]|z_2|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
$|z_3|=\sqrt{0^2+4^2}=4$
$|z_4|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
$|z_5|=\sqrt{8^2}=8$
$|z_6|=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$

Aan deze lijst zien we dat ieder complex getal $\sqrt{2}$ keer zo ver van de oorsprong af zit als de vorige. Samengevat doet vermenigvuldigen met $1+i$ twee dingen: het getal wordt 45 graden gedraaid en het getal komt $\sqrt{2}$ keer zo ver van de oorsprong te liggen.

Uitwerking d:

Het getal $1+i$ ligt zelf op een afstand van $|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ van de oorsprong. Daarnaast is de hoek tussen de horizontale as met de vector van 0 naar $1+i$ ook precies een hoek van 45 graden.

Pagina's: 1234