Les 6: Complex vlak – Pagina 3

Poolcoördinaten

Er zijn twee manieren hoe je van de oorsprong naar het complexe getal $1+i$ kunt lopen:

Via de roosterlijnen:
In dat geval ga je eerst 1 naar rechts en dan 1 omhoog. Deze is met zwarte vectoren aangegeven in de figuur hieronder.
Direct:
In dat geval draai je eerst 45 graden vanaf de positieve $x$ -as en loop je dan een afstand van $\sqrt{2}$ . Deze is met een rode vector aangegeven in de onderstaande figuur.

De route via de zwarte lijnen noemen we Carthesische coördinaten. Het getal $1+i$ heeft dus $(x,y)=(1,1)$ als Carthesische coördinaten.
De route via de rode lijnen noemen we poolcoördinaten. Het getal $1+i$ heeft als poolcoördinaten $(\sqrt{2}, \frac{1}{4}\pi)$ . Hierbij is het eerste getal de afstand $r$ tot de oorsprong en het tweede getal de hoek $\theta$ in radialen ten opzichte van de positieve horizontale as (tegen de klok in).

Opdracht 5:
a) Zet $(5; 0{,}88)$ om van poolcoördinaten naar de vorm $a+bi$ . Rond zo nodig af op twee decimalen.
b) Zet $(4,\frac{1}{3}\pi)$ om van poolcoördinaten naar de vorm $a+bi$ . Rond zo nodig af op drie decimalen.
c) Zet $(3; 5{,}1)$ om van poolcoördinaten naar de vorm $a+bi$ . Rond zo nodig af op drie decimalen.naar poolcoördinaten. Rond af op drie decimalen.

Uitwerking a:

In het plaatje hieronder zie je dat we het reële stuk kunnen berekenen met behulp van een cosinus en het imaginaire stuk met een sinus. De Carthesische coördinaten worden dus $5\cos(0{,}88)+5\sin(0{,}88)i\approx 3{,}19+3{,}85i$

Uitwerking b:

Op dezelfde manier als bij opdracht a krijgen we $4\cos(\frac{1}{3}\pi)+ 4\sin(\frac{1}{3}\pi)i = 4\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}i = 2+2\sqrt{3}i$

Uitwerking c:

De formule uit opdracht a werkt ook als het punt niet in het eerste kwadrant zit. We krijgen dus $3\cos(5{,}1)+3\sin(5{,}1)i \approx 1{,}134 -2{,}777 i$ .

Voor het berekenen van de poolcoördinaten van $a+bi$ kun je $\theta$ berekenen met $\tan(\theta)=\frac{b}{a}$ . Let er hierbij op dat een tangens een periode van $\pi$ heeft. Je moet dus altijd controleren aan waar het complexe getal ligt of je $\theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ moet hebben of $\theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)+\pi$ .

Opdracht 6:
a) Zet $z_1=5+2i$ om naar poolcoördinaten. Rond $\theta$ zo nodig af op drie decimalen.
b) Zet $z_2=-3+i$ om naar poolcoördinaten. Rond $\theta$ zo nodig af op drie decimalen.
c) Zet $z_3=2-i$ om naar poolcoördinaten. Rond $\theta$ zo nodig af op drie decimalen.

Uitwerking a:

$r=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$
$\tan(\theta)=\frac{2}{5}$ geeft $\theta=0{,}3805\ldots+k\cdot \pi$
Aangezien $z_1$ in kwadrant 1 ligt, is $\theta=0{,}3805\ldots$ .
In poolcoördinaten is $z_1$ dus $(\sqrt{29}; 0{,}381)$

Uitwerking b:

$r=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
$\tan(\theta)=\frac{1}{-3}$ geeft $\theta=-0{,}3217\ldots+k\cdot \pi$ . Aangezien $\theta$ in kwadrant 2 ligt, krijgen we $\theta=2{,}8198\ldots$
In poolcoördinaten is $z_2$ dus $(\sqrt{10}; 2{,}820)$

Uitwerking c:

$r=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
$\tan(\theta)=-\frac{1}{2}$ geeft $\theta=-0{,}4636\ldots+k\cdot \pi$ .
Aangezien $\theta$ in kwadrant 4 ligt, krijgen we $\theta=-0{,}4636\ldots$
In poolcoördinaten is $z_3$ dus $(\sqrt{5}; -0{,}464)$

Pagina's: 1234