Meetkundige bewijzen – peterypma.nl

Alle onderstaande puzzels komen uit de finales van de Wiskunde Olympiade. Mijn advies is om deze te proberen nadat je hoofdstuk 9 t/m 12 van de finaletraining van de Wiskunde Olympiade doorgewerkt hebt. De uitwerkingen vind je hier.

Puzzel 1 (Wiskunde Olympiade Finale 2025 – versie klas 4):
Binnen een driehoek $ABC$ ligt een punt $P$ met de eigenschap dat $\angle ACP = \angle BAP$ en $\angle BCP=\angle ABP$ . De lijn door $C$ en $P$ snijdt de zijde $AB$ in het punt $D$ .
Bewijs dat $D$ het midden is van het lijnstuk $AB$ .

Stap 1: Het maken van een mooi plaatje

Stap 1 in het oplosproces is om een mooi plaatje te maken. Hier is daarbij de moeilijkheid dat je nog niet precies weet waar punt $P$ in de driehoek komt. In dit geval vertelt echter de laatste regel dat uiteindelijk gaat gelden dat het midden $D$ van lijnstuk $AB$ op de lijn $CP$ ligt. Teruggedacht ligt de juiste ligging van $P$ dus schijnbaar ook op de lijn $CD$ . Hiermee kun je met de volgende stappen een mooi plaatje tekenen.

Ik heb een grote driehoek $ABC$ getekend.
Ik heb een punt $D$ ongeveer halverwege $AB$ gezet.
Ik heb de lijn $CD$ ingetekend.
Ik heb een punt $P$ op $CD$ gezet, zodat $\angle ACP \approx \angle BAP$ .
Ik teken nu ook de lijn $BP$ in en controleer dat ongeveer klopt dat $\angle BCP\approx \angle ABP$ .

Dit geeft bij mij het volgende plaatje:

Merk op dat ik in dit plaatje de hoeken die vaker voorkomen alvast een naam heb gegeven ( $\alpha$ en $\beta$ ). Vaak geef ik die ook een aparte kleur, zodat ik in één oogopslag zie welke hoeken gelijk zijn.

Stap 2: Het oplossen van het probleem

Gelijke hoeken doet mij direct denken aan gelijkvormige driehoeken. Ik kijk daarom of de hoeken $\angle DAP$ en $\angle AC$ ( $\alpha$ in het plaatje) in driehoeken zitten die gelijkvormige zijn met elkaar. $\angle DAP$ zit alleen in de driehoek $\triangle DAP$ en hoek $\angle ACP$ zit in de driehoeken $\triangle ACP$ en $ACD$ .

$\triangle DAP$ en $\triangle CAP$ lijken in de verste verte niet gelijkvormig ( $\triangle CAP$ heeft een stompe hoek en $\triangle DAP$ niet), maar ik zie dat $\triangle ACD$ en $\triangle PAD$ ook nog $\angle ADP = \angle CDA$ gemeenschappelijk hebben. Daarom geldt dus $\triangle ACD\sim \triangle DAP$ .
Aan de andere kant van het figuur zie ik nu soortgelijke gelijkvormige driehoeken: $\triangle DBP \sim \triangle DCB$ .

Nu ik gelijkvormigheden heb, maak ik eerst een tabel van wat deze gelijkvormigheden zeggen over de zijden:

Ik lees op dit punt nog even in de vraag wat we ook alweer wilden bewijzen. Dat is dat $AD=DB$ (want dan ligt $D$ in het midden van $AB$ ). Het is dus logisch om in de tabellen de kolommen te pakken waar de zijden $AD$ en $DB$ in voorkomen. Daarin krijg ik uitdrukkingen voor $AD$ en $DB$ :

$\frac{AD}{CD}=\frac{DP}{AD}$ geeft $AD^2=CD\cdot DP$
$\frac{DB}{DC}=\frac{DP}{DB}$ geeft $DB^2=DC\cdot DP$

Uiteraard is $CD\cdot DP$ hetzelfde als $DC\cdot DP$ . We hebben dus $AD^2=DB^2$ . Aangezien lengtes positief zijn, volgt daar het gevraagde $AD=DB$ uit.

Stap 3: Het opschrijven van het nette bewijs

De laatste stap is altijd om het bewijs op een nette manier op te schrijven, waarbij je alle denkstappen duidelijk opschrijft. Ik doe dat in dit geval als volgt:

Vanwege het gelijkvormigheidsgeval $hh$ zijn de driehoeken $\triangle ADP$ en $\triangle CDA$ gelijkvormig. We hebben namelijk $\angle ADP=\angle CDA$ (zelfde hoek) en $\angle DAP=\angle BAP=\angle ACP=\angle ACD$ (gegeven).
Uit deze gelijkvormigheid volgt $\frac{AD}{CD}=\frac{DP}{AD}$ . Kruiselings vermenigvuldigen geeft $AD^2=CD\cdot DP$ .
Vanwege het gelijkvormigheidsgeval $hh$ zijn de driehoeken $\triangle DBP$ en $\triangle DCB$ gelijkvormig. We hebben namelijk $\angle BDP=\angle CDB$ (zelfde hoek) en $\angle DBP=\angle ABP=\angle BCP = \angle BCD$ (gegeven).
Uit deze gelijkvormigheid volgt $\frac{DB}{CD}=\frac{DP}{DB}$ . Kruiselings vermenigvuldigen geeft $DB^2=CD\cdot DP$ .
We hebben dat $AD^2=CD\cdot DP = DB^2$ . Aangezien lengtes positief zijn, volgt hieruit $AD=DB$ . Uit dit gegeven in combinatie met dat $D$ op het lijnstuk $AB$ ligt, kunnen we concluderen dat $D$ het midden van lijnstuk $AB$ is.

Pagina's: 12345