Meetkundige bewijzen – Pagina 3

Puzzel 3: (Wiskunde Olympiade Finale 2019 – versie klas 4):
Op een cirkel met middelpunt $M$ liggen punten $A$ , $B$ en $C$ . Het spiegelbeeld van $M$ in de lijn $AB$ ligt binnen driehoek $ABC$ en is het snijpunt van de bissectrices van hoek $A$ en hoek $B$ . (De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek in twee gelijke hoeken deelt.)
Bepaal de grootte van hoek $C$ .

Stap 1: Mijn oplosproces aan de hand van het maken van een plaatje

Bij het tekenen van een plaatje begin ik met het tekenen van een cirkel. Daarna merk ik bij mijn eerste poging dat ik niet willekeurig wat punten $A$ , $B$ en $C$ op de cirkel te zetten, omdat het spiegelbeeld van $M$ in $AB$ meestal niet samenvalt met de bissectrices van hoek $A$ en $B$ . Daarom begin ik met het tekenen van $M$ , $A$ , $B$ en het spiegelbeeld van $M$ in $AB$ wat ik in mijn tekening $D$ noem.

Aangezien $D$ het spiegelbeeld van $M$ in $AB$ is, staan $DM$ en $AB$ loodrecht op elkaar. Het snijpunt noem ik $E$ . Doordat het een spiegelbeeld is, is $AM=AD$ en $BM=BD$ . Aangezien $AM$ en $BM$ de straal van de cirkel zijn, zijn deze zijden bovendien gelijk aan elkaar.

Qua hoeken geldt $\angle MAB=\angle MBA=\alpha$ , omdat $\triangle ABM$ gelijkbenig is. Aangezien $\Delta ABD$ het spiegelbeeld is van $\Delta ABM$ geldt ook dat $\angle DAB=\angle MAB = \alpha$ en $\angle DBA = \angle MBA = \alpha$ .

Vanwege het spiegelen geldt ook $\angle AMD=\angle ADM$ en $\angle BMD=\angle BDM$ . Met bijvoorbeeld Z-hoeken (in een ruit zijn overstaande zijden evenwijdig) zien we dat deze hoeken ook gelijk zijn elkaar. In het onderstaande plaatje zijn al deze gelijke hoeken aangegeven.

Nu ik alles rond deze punten aangegeven heb, voeg ik het punt $C$ toe. Daarbij weten we dat $AD$ de bissectrice is van $\angle CAE$ . Daarom geldt $\angle CAD = \angle DAE = \alpha$ . Aan de andere kant geldt, omdat $BD$ de bissectrice is van $\angle ABC$ dat $\angle DBC = \angle DBA = \alpha$ . We zien nu dat zowel $\angle CAB=\angle CBA = 2\alpha$ . Driehoek $ABC$ is dus gelijkbenig en we hebben $AC=BC$ .

Aangezien $C$ op de cirkel ligt, willen we die ook graag met het middelpunt verbinden (want $AM=BM=CM$ is de straal). Daarbij zien we dat, omdat $AC=BC$ , $AD=BD$ en $AM=BM$ alle drie de punten $C$ , $D$ en $M$ op de middelloodlijn van $AB$ liggen. In het bijzonder liggen deze punten dus op één lijn.

We zien dat vanwege $AM=CM$ (straal) en $BM=CM$ dat driehoeken $\triangle AMC$ en $\triangle BMC$ gelijkbenig zijn. Hieruit volgt $\angle ACM=\angle MAC = 3\alpha$ en $\angle BCM = \angle CBM = 3\alpha$ .

Ik zie nu dat de hoeken in driehoek $\triangle ABC$ optellen tot $2\alpha+6\alpha+2\alpha = 10\alpha$ . We hebben daarom dat $10\alpha = 180^{\circ}$ . Dit geeft $\alpha = 18^{\circ}$ en dus $angle ACB = 6\alpha = 6\cdot 18^{\circ}=108^{\circ}$ .

Pagina's: 12345