Meetkundige bewijzen – Pagina 4

Puzzel 4 (Wiskunde Olympiade Finale 2017 – versie klas 4):
Gegeven is een parallellogram $ABCD$ met $|AD|=|BD|$ . Op lijnstuk $BD$ ligt een punt $E$ zo dat $|AE|=|DE|$ . Het verlengde van $AE$ snijdt lijnstuk $BC$ in $F$ .
Bewijs dat $\angle CDF=\angle ADB$ .

Stap 1: Mijn oplosproces

Ook als een plaatje gegeven is, maak ik altijd mijn eigen plaatje. Door het maken van een plaatje krijg ik namelijk meer gevoel voor de opgave. Daarbij probeer ik de punten één voor één toe te voegen en daarbij alles wat ik over dat punt weet in het plaatje te verwerken.

Hier begin ik met het tekenen van de parallellogram met daarin de diagonaal $BD$ , omdat daar in de opgave iets over gezegd wordt. Daarbij weten we dat $AB=CD$ (tegenoverliggende zijdes in een parallellogram zijn even groot). Die kleur ik dus beide blauw. Ook weten we $AD=BD$ (gegeven) en $AD=BC$ (overstaande zijdes in parallellogram). Die zijden kleur ik dus rood.

Ook hebben we veel gelijke hoeken. Zo is $\angle BAD=\angle ABD$ vanwege gelijkbenigheid, $\angle BCD=\angle BDC$ vanwege gelijkbenigheid en $\angle ABD=\angle BDC$ vanwege een Z-hoek. Al deze hoeken zijn dus gelijk en kleur ik groen. Vanwege Z-hoeken geldt ook nog $\angle ADB=\angle DBC$ .

Nu ik dit heb, teken ik het punt $E$ in, waarbij ik aangeef dat $AE=DE$ . Op papier doe ik dit vaak met twee gekleurde lijnen naast elkaar. Op de computer prefereer ik stippellijnen, zoals hieronder. Vanwege de gelijkbenigheid geldt natuurlijk ook $\angle EAD=\angle EDA$ , dus $\angle EAD$ wordt ook paars.

We tekenen nu $AE$ door tot punt $F$ . Omdat $\angle CDF$ in de opgave staat, tekenen we ook $DF$ . We hebben dat $\angle BFA = \angle FAD$ vanwege Z-hoeken. Dus $\angle BFE$ is ook paars. Daarom is $\triangle BFE$ gelijkbenig. Ik geef dus ook $EF=BE$ met een kleurtje aan.

Nu zie ik dat $\triangle ABE \sim \triangle DFE$ , want $AE=DE$ , $BE=EF$ en $\angle AEB=\angle DEF$ vanwege overstaande hoeken. Uit deze congruentie volgt dat $DF=AB$ en ook die zijde wordt dus blauw. Hierdoor is $\triangle CFD$ gelijkbenig. Daaruit volgt dat $\angle DCF = \angle CFD$ en dus is $\angle CFD$ ook groen is.

Nu zien we in driehoek $\triangle CDF$ dat $\angle CDF = 180\degree - \text{twee groene hoeken}$ . In driehoek $\triangle ADB$ zien we ook dat $\angle ADB = 180\degree - \text{twee groene hoeken}$ . We hebben dus zoals gevraagd $\angle ADB=\angle CDF$ .

Stap 2: Het bewijs netjes opgeschreven

We noemen $\angle BFE=\alpha$ . Vanwege Z-hoeken is dan ook $\angle EAD=\alpha$ . Aangezien $\triangle AED$ gelijkbenig is, is ook $\angle ADE=\alpha$ . Vanwege Z-hoeken is vervolgens ook $\angle EBF=\alpha$ . We hebben nu dat $\angle EBF=\alpha=\angle BFE$ en dus is $\triangle BEF$ gelijkbenig. Dit geeft $BE=FE$ .

We bewijzen nu dat $\triangle ABE\sim \triangle DFE$ met congruentiegeval $ZHZ$ . We hebben namelijk $AE=DE$ (gegeven), $\angle AEB=\angle DEF[latex] (overstaande hoek) en BE=FE$ (zie de alinea hierboven). Uit deze congruentie volgt $AB=DF$ . We hebben ook $AB=CD$ , omdat overstaande zijden in een parallellogram gelijk zijn. Combineren geeft $DF=CD$ .

Noem nu $\angle CFD =\beta$ . We hebben net laten zien dat $\triangle CDF$ gelijkbenig is en daaruit volgt $\angle DCF=\beta$ . Verder geldt ook $BD=AD=CD$ . Hierdoor is $\triangle BCD$ ook gelijkbenig en geldt dus ook $\angle CDB=\beta$ . Vanwege Z-hoeken is ook $\angle DBA=\beta$ . Tot slot is $\triangle ADB$ gelijkbenig en dit geeft ook $\angle BAD=\beta$ .

We hebben nu met hoekensom driehoek in $\triangle ABD$ dat $\angle ADB=180^{\circ} - 2\beta$ . Ook de hoekensom driehoek in $\triangle CDF$ gebruiken, geeft $\angle CDF = 180^{\circ}-2\beta$ . Combineren van $\angle ADB=180^{\circ} - 2\beta$ en $\angle CDF = 180^{\circ}-2\beta$ geeft nu het gevraagde $\angle ADB=\angle CDF$ .

Pagina's: 12345