Voorbereiden toets deel 2: Cryptografie – Pagina 4

Les 8: Binaire getallen

In het tientallig stelsel is iedere 1 in 1111 steeds tien keer zoveel waard als de 1 die erachter staat. Het staat dus voor $1\cdot 10^3+1\cdot 10^2+1\cdot 10^1+1$ . In het n-tallig stelsel is iedere 1 steeds $n$ keer zoveel waard als de 1 die erachter staat.

Opdrachten

Vraag 18:
Schrijf het getal $215$ uit het tientallig stelsel om naar het achttallig stelsel.

Uitwerking:

In het 8-tallig stelsel heeft het laatste cijfer waarde 1, die ervoor waarde $8$ en die daarvoor waarde $8^2 =64$ . We moeten dus eerst kijken hoe vaak 64 in 215 past, vervolgens hoe vaak 8 in het restant past, etcetera. Dat geeft de volgende berekeningen:
$215 // 64 = 3$ en $215 \text{mod} 64 = 23$
$23 // 8 = 2$ en $23 \text{mod}8 = 7$
Het antwoord is dus 327.

Vraag 19:
Schrijf het getal $31D2$ uit het zestientallig stelsel (waarbij A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 en F=15) om naar het tientallig stelsel.

Uitwerking:

Het getal $31D2$ staat voor $3\cdot 16^3+1\cdot 16^2+13\cdot 16+2=12754$ .

Vraag 20:
In een zeker talstelsel klopt de som $13\cdot 15=243$ . In welk talstelsel klopt dit? Leg uit waarom dit het geval is.

Uitwerking:

Als we in het $a$ -tallig stelsel werken, is 13 gelijk aan $a+3$ en 15 is gelijk aan $a+5$ . Daarnaast staat 243 voor $2\cdot a^2+4\cdot a+3$ . Gelijkstellen van $(a+3)(a+5)=2a^2+4a+3$ geeft:
$a^2+8a+15=2a^2+4a+3$
$a^2-4a-12=0$
$(a-6)(a+2)=0$
$a=6\vee a=-2$
Aangezien er geen negatief getalstelsel bestaat, is het antwoord $a=6$ .

Vraag 21:
Het getal $ABC$ bestaat uit (al dan niet verschillende) cijfers $A$ , $B$ en $C$ (dus als A=1, B=2 en C=2 staat er het getal 122). Als we $ABC$ lezen als een getal in het 9-tallig stelsel is het precies twee honderd meer dan als we $ABC$ lezen als een getal in het 4-tallig stelsel. Geef alle mogelijkheden van $ABC$ .

Uitwerking:

In het 4-tallig stelsel heeft het laatste cijfer waarde 1, het cijfer ervoor waarde 4 en het cijfer daarvoor waarde 16. De waarde van het getal $ABC$ is dus $16A+4B+C$ .
Op dezelfde manier heeft het laatste cijfer in het 9-tallig stelsel waarde 1, het cijfer ervoor waarde 9 en het cijfer daarvoor waarde 81. De waarde van het getal $ABC$ is daar dus $81A+9B+1$ .
Het verschil van deze getallen is $81A+9B+1-(16A+4B+1)=65A+5B$ . Deze uitkomst moet 200 zijn. Een beperking hierbij is dat $A$ , $B$ en $C$ alleen 0, 1, 2 en 3 kunnen zijn, omdat het een getal in het 4-tallig stelsel moet zijn (en alleen deze cijfers in het 4-tallig stelsel bestaan). Het is duidelijk dat $65A+B=200$ dan alleen kan als $A=3$ en $B=1$ . De waarde van $C$ maakt niet uit.
De oplossingen zijn dus 310, 311, 312 en 313.

Vraag 22:
Schrijf het binaire getal 101111001101 om naar een decimaal getal.

Uitwerking:

Hieronder gebruik ik het algoritme uit de les (kijk boven opdracht 11):

Binair:          Decimaal:
1                1
10               2*1=2
101              2*2+1=5
1011             2*5+1=11
10111            2*11+1=23
101111           2*23+1=47
1011110          2*47+0=94
10111100         2*94+0=188
101111001        2*188+1=377
1011110011       2*377+1=755
10111100110      2*755+0=1510
101111001101     2*1510+1=3021

Het is dus het getal 3021.

Vraag 23:
Schrijf 6767 om naar een binair getal.

Uitwerking:

De snelste manier is om het binaire getal van achter naar voren op te bouwen, zoals ik uitgelegd heb op deze pagina boven opdracht 12.

Decimaal:        Binair:
6767//2=3383     ????????????1
3383//2=1691     ???????????11
1691//2=845      ??????????111
845//2=422       ?????????1111
422//2=211       ????????01111
211//2=105       ???????101111
105//2=52        ??????1101111
52//2=26         ?????01101111
26//2=13         ????001101111
13//2=6          ???1001101111
6//2=3           ??01001101111
3//2=1           ?101001101111
1//2=0           1101001101111

Pagina's: 1234567