Les 3: Wortels en functies delen – Pagina 4

Aantal oplossingen

Tot slot bekijken we deze les naar het aantal oplossingen van derdegraads vergelijkingen. Hierbij kijken we eerst naar hoeveel oplossingen een kwadratische vergelijking kan hebben.

Opdracht 7:
a) Geef een kwadratische vergelijking met 2 reële oplossingen.
b) Geef een kwadratische vergelijking met 1 reële oplossing.
C) Geef een kwadratische vergelijking met 0 reële oplossingen.

Uitwerking a:

Iedere vergelijking van het type $a(x-b)(x-c)=0$ met $b$ en $c$ verschillend heeft twee oplossingen. Neem bijvoorbeeld $a=1$ , $b=0$ en $c=2$ geeft $x(x-2)=0$ wat na haakjes uitwerken $x^2-2x=0$ geeft.

Uitwerking b:

Iedere vergelijking van het type $a(x-b)^2=0$ heeft één oplossing. Een voorbeeld voor $a=1$ en $b=0$ is $x^2=0$ .

Uitwerking c:

Bijvoorbeeld $x^2+2=0$ heeft geen reële oplossingen.

In de volgende opgave ga je uitzoeken hoeveel oplossingen een derdegraads vergelijking kan hebben.

Opdracht 8:
a) Geef een derdegraadsvergelijking met 3 reële oplossingen.
b) Bestaat er een derdegraadsvergelijking met 2 reële oplossingen? Zo ja: geef een voorbeeld. Zo nee: leg uit waarom die niet kan bestaan.
c) Bestaat er een derdegraadsvergelijking met 1 reële oplossing? Zo ja: geef een voorbeeld. Zo nee: leg uit waarom die niet kan bestaan.
d) Bestaat er een derdegraadsvergelijking met 0 reële oplossingen? Zo ja: geef een voorbeeld. Zo nee: leg uit waarom die niet kan bestaan.

Uitwerking 8a:

Bijvoorbeeld $x(x+1)(x+2)=0$ heeft drie oplossingen (namelijk $x=0\vee x=-1\vee x=-2$ ). Na haakjes uitwerken wordt dit $x^3+3x^2+2x=0$ .

Uitwerking 8b:

De vergelijking $x^2(x-1)=0$ heeft twee oplossingen. Namelijk $x=0\vee x=1$ . Met haakjes uitwerken is dit $x^3-x^2=0$ .

Uitwerking 8c:

De vergelijking $x^3=0$ heeft alleen $x=0$ als oplossing.

Uitwerking 8d:

Zo’n vergelijking bestaat niet. Het probleem is dat de functie $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ voor zeer negatieve $x$ onder de $x$ -as zal liggen. Voor zeer grote getallen $x$ zal $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ juist boven de $x$ -as liggen. Aangezien $f$ geen asymptoten of perforaties heeft, moet die ergens tussen deze punten de $x$ -as een keer passeren.

In het kader op pagina 11 van het boek “An imaginary tale” wordt beargumenteert waarom $f(x)=x^3+px-q$ met $p>0$ en $q>0$ altijd één snijpunt met de $x$ -as hebben. Het argument is feitelijk net niet helemaal compleet.

Opdracht 9:
a) Geef een volledig argument waarom $x^3+px-q=0$ altijd precies één oplossing heeft.
b) Leg uit wat er nog mist in het arument van het boek op pagina 11.

Uitwerking 9a:

Bekijk $f(x)=x^3+px+q$ .
Dan geldt $f'(x)=3x^2+p$ . Er geldt dat $f'(x)>0$ , omdat $3x^2>0$ en $p>0$ . De functie $f$ stijgt dus overal.
Daarnaast geldt $f(0)=-q<0$ . Bij $x=0$ zit $f$ dus onder de $x$ -as.
Er geldt $f(\sqrt[3]{q})=q+p\sqrt[3]{q}-q=p\sqrt[3]{q}>0$ . Dus bij $x=\sqrt[3]{q}$ zit $f$ boven de $x$ -as.
Aangezien de grafiek overal stijgt (en er geen asymptoten zijn), weten we dat er hooguit één snijpunt met de $x$ -as kan zijn. Aangezien er bovendien zowel een punt onder de $x$ -as op de grafiek van $f$ zit als een punt boven de $x$ -as, moet er ook een punt tussen zitten die op de $x$ -as zit. De vergelijking $f(x)=0$ heeft daardoor precies één oplossing.

Uitwerking 9b:

Een stijgende grafiek kan ook stijgen naar een asymptoot, zoals de figuur in de onderstaande afbeelding.

Om zeker te weten dat de grafiek de $x$ -as snijdt, hebben we op $f$ dus zowel een punt onder de $x$ -as als boven de $x$ -as nodig. Dat tweede ontbreekt in het boek.

Pagina's: 1234