Les 3: Wortels en functies delen – Pagina 2

Functies door elkaar delen

Als $x=3$ een oplossing is van $x^3+6x^2-7x-60=0$ , moet het wel zo zijn dat de vergelijking te herschrijven is als $(x-3)(\text{iets})=0$ . Dan hebben we immers een vergelijking van de vorm $A\cdot B=0$ waarvan $x=3$ een oplossing is.

Het gegeven uit de alinea hierboven kunnen we gebruiken om de andere oplossingen van de derdegraads vergelijking te vinden. De truc is om een factor $(x-3)$ buiten haakjes te halen. Daarbij beginnen we bij de hoogste macht van $x$ , zoals duidelijk wordt in het voorbeeld hieronder.

Voorbeeld:
Gegeven is dat $x=3$ een oplossing is van $x^3+6x^2-7x-60=0$ . Bereken de andere oplossingen exact.

Uitwerking:

$\begin{align*}x^3+6x^2-7x-60&= x^2(x-3)+9x^2-7x-60\\ &=x^2(x-3)+9x(x-3)+20x-60\\ &= x^2(x-3)+9x(x-3)+20(x-3)\\ &= (x^2+9x+20)(x-3)\\ &=(x+4)(x+5)(x-3)\end{align*}$

De oplossingen van $x^3+6x^2-7x-60=0$ zijn $x=-4\vee x=-5\vee x=3$ .

Opdracht 1:
a) Een oplossing van $x^3+x^2-22x-40=0$ is $x=5$ . Bereken alle oplossingen van $x^3+x^2-22x-40=0$ exact.
b) Een oplossing van $x^3-6x^2-9x+54=0$ is $x=-3$ . Bereken alle oplossingen van $x^3-6x^2-9x+54=0$ exact.
c) Een oplossing van $x^3-19x+30=0$ is $x=2$ . Bereken alle oplossingen van $x^3-19x+30=0$ exact.

Uitwerking 1a:

$\begin{align*}x^3+x^2-22x-40&=x^2(x-5)+6x^2-22x-40\\ &= x^2(x-5)+6x(x-5)+8x-40\\ &= x^2(x-5)+6x(x-5)+8(x-5)\\ &= (x^2+6x+8)(x-5)\\ &= (x+4)(x+2)(x-5)\end{align*}$

De oplossingen van $x^3+x^2-22x-40=0$ zijn $x=-4\vee x=-2\vee x=5$ .

Uitwerking 1b:

$\begin{align*}x^3-6x^2-9x+54 &= x^2(x+3)-9x^2-9x+54 \\ &=x^2(x+3)-9x(x+3)+18x+54\\ &= x^2(x+3)-9x(x+3)+18(x+3)\\ &=(x^2-9x+18)(x+3)\\ &=(x-6)(x-3)(x+3)\end{align*}$

De oplossingen van $x^3-6x^2-9x+54=0$ zijn $x=6\vee x=3\vee x=-3$ .

Uitwerking 1c:

$\begin{align*}x^3-19x+30&=x^2(x-2)+2x^2-19x+30\\ &=x^2(x-2)+2x(x-2)-15x+30 \\ &=x^2(x-2)+2x(x-2)-15(x-2)\\ &= (x^2+2x-15)(x-2)\\ &=(x+5)(x-3)(x-2) \end{align*}$

De oplossingen van $x^3-19+30=0$ zijn $x=-5\vee x=3\vee x=2$ .

Natuurlijk kunnen de andere oplossingen soms ook complexe getallen zijn, zoals we bij de introductie van de module gezien hebben.

Opdracht 2:
Een oplossing van $x^3+12x^2+46x+52=0$ is $x=-2$ . Bereken exact de andere twee oplossingen.

Uitwerking met abc-formule:

$\begin{align*}x^3+12x^2+46x+52&=x^2(x+2)+10x^2+46x+52\\ &= x^2(x+2)+10x(x+2)+26x+52\\ &=x^2(x+2)+10x(x+2)+26(x+2)&=(x^2+10x+26)(x+2)\end{align*}$

$x^3+12x^2+46x+52=0$ geeft $(x^2+10x+26)(x+2)=0$
$x^2+10x+26=0$ (de oplossing $x=-2$ hadden we al)
$D=10^2-4\cdot 1\cdot 26=-4$
$x=\frac{-10+\sqrt{4}i}{2}\vee x=\frac{-10-\sqrt{4}i}{2}$
$x=\frac{-10+2i}{2}\vee x=\frac{-10-2i}{2}$
$x=-5+i\vee x=-5-i$

Uitwerking met kwadraat afsplitsen:

$\begin{align*}x^3+12x^2+46x+52&=x^2(x+2)+10x^2+46x+52\\ &= x^2(x+2)+10x(x+2)+26x+52\\ &=x^2(x+2)+10x(x+2)+26(x+2)&=(x^2+10x+26)(x+2)\end{align*}$

$x^3+12x^2+46x+52=0$ geeft $(x^2+10x+26)(x+2)=0$
$x^2+10x+26=0$ (de oplossing $x=-2$ hadden we al)
$(x+5)^2-25+26=0$
$(x+5)^2=-1$
$x+5=i\vee x+5=-i$
$x=-5+i\vee x=-5-i$

Dezelfde techniek van wegdelen kun je ook gebruiken bij hogeregraads vergelijkingen.

Opdracht 3:
Twee oplossingen van $x^4+9x^3-33x^2-433x-840=0$ zijn $x=-3$ en $x=-5$ . Bereken exact de andere twee oplossingen.

Uitwerking met beide oplossingen tegelijk wegdelen:

Zowel $(x+3)$ als $(x+5)$ zijn een factor van de linkerkant van de vergelijking. Dat betekent dat $(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$ ook een factor van deze vergelijking is. Dat buiten haakjes halen, geeft:

$\begin{align*}&x^4+9x^3-33x^2-433x-840\\&= x^2(x^2+8x+15)+x^3-48x^2-433x-840\\ &= x^2(x^2+8x+15)+x(x^2+8x+15)-56x^2-448x-840 \\ &= x^2(x^2+8x+15)+x(x^2+8x+15)-56(x^2+8x+15)\\ &=(x^2+x-56)(x^2+8x+15)\\ &= (x+8)(x-7)(x+5)(x+3)\end{align*}$

Dit betekent dat de andere oplossingen van $x^4+9x^3-33x^2-433x-840=0$ gelijk zijn aan $x=-8\vee x=7$ .

Uitwerking met oplossingen één voor één wegdelen:

$\inlignst\begin{align*}& x^4+9x^3-33x^2-433x-840\\ &=x^3(x+3)+6x^3-33x^2-433x-840\\ &= x^3(x+3)+6x^2(x+3)-51x^2-433x-840\\ &= x^3(x+3)+6x^2(x+3)-51x(x+3)-280x-840\\ &= x^3(x+3)+6x^2(x+3)-51x(x+3)-280(x+3)\\ &=(x+3)(x^3+6x^2-51x-280)\\ &=(x+3)(x^2(x+5)+x^2-51x-280)\\ &=(x+3)(x^2(x+5)+x(x+5)-56x-280)\\ &=(x+3)(x^2(x+5)+x(x+5)-56(x+5))\\ &= (x+3)(x+5)(x^2+x-56)\\ &=(x+3)(x+5)(x+8)(x-7)\end{align*}$

Dit betekent dat de andere oplossingen van $x^4+9x^3-33x^2-433x-840=0$ gelijk zijn aan $x=-8\vee x=7$ .

Pagina's: 1234