Les 3: Wortels en functies delen – Pagina 3

Functies door elkaar delen

Bij het oplossen van derdegraads vergelijkingen moeten we vaak uitdrukkingen van de vorm $\sqrt[3]{k+m\sqrt{c}}$ vereenvoudigen. Als de oorspronkelijke derdegraads vergelijking een breuk als oplossing heeft, kun je deze wortel altijd vereenvoudigen tot $a+b\sqrt{c}$ met $a$ en $b$ veelvouden van $\frac{1}{2}$ . Om het rekenwerk iets minder vervelend te maken, zal ik er in de sommen steeds voor kiezen dat hier er gehele getallen voor $a$ en $b$ uitkomen.

De truc bij het doen van die vereenvoudiging is om bij $\sqrt[3]{k+m\sqrt{c}}=a+b\sqrt{c}$ beide kanten tot de macht drie te doen. Vervolgens weet je omdat de getallen $a$ en $b$ geheel zijn dat de termen links en rechts met een $\sqrt{c}$ even groot moeten zijn. Hetzelfde geldt voor de termen zonder $\sqrt{c}$ . Hoe dit werkt zie je in het voorbeeld.

Voorbeeld:
Gegeven is dat $\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}$ te schrijven is in de vorm $a+b\sqrt{3}$ met $a$ en $b$ geheel. Bereken via exacte weg de waarden van $a$ en $b$ .

Uitwerking:
$\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3}$
$26+15\sqrt{3}=(a+b\sqrt{3})^3$
$26+15\sqrt{3}=a^3+3a^2b\sqrt{3}+3ab^2\cdot (\sqrt{3})^2+b^3(\sqrt{3})^3$
$26+15\sqrt{3}=a^3+3a^2b\sqrt{3}+9ab^2+3b^3\sqrt{3}$
$26+15\sqrt{3}=(a^3+9ab^2)+(3a^2b+3b^3)\sqrt{3}$
$\begin{cases}a^3+9ab^2=26\\ 3a^2b+3b^3=15\end{cases}$
$\begin{cases}a(a^2+9b^2)=26\\ b(3a^2+3b^2)=15\end{cases}$
Aangezien alle getallen geheel zijn, volgt uit $a(a^2+9b^2)=26$ dat links van het =-teken het product $1\cdot 26$ of $2\cdot 13$ moet zijn. Deze opties voor $a$ langsgaan, geeft dat $a=2$ in combinatie met $b=1$ werkt als oplossing.

Opdracht 4:
a) Gegeven is dat $\sqrt[3]{61+46\sqrt{5}}$ te schrijven is in de vorm $a+b\sqrt{5}$ met $a$ en $b$ geheel. Bereken via exacte weg de waarden van $a$ en $b$ .
b) Gegeven is dat $\sqrt[3]{135}+78\sqrt{3}}$ te schrijven is in de vorm $a+b\sqrt{3}$ met $a$ en $b$ geheel. Bereken via exacte weg de waarden van $a$ en $b$ .
c) Gegeven is dat $\sqrt[3]{99}-70\sqrt{2}}$ te schrijven is in de vorm $a+b\sqrt{3}$ met $a$ en $b$ geheel. Bereken via exacte weg de waarden van $a$ en $b$ .

Uitwerking a:

$\sqrt[3]{61+46\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}$
$61+46\sqrt{5}=(a+b\sqrt{5})^3$
$61+46\sqrt{5}=a^3+3a^2b\sqrt{5}+15ab^2+5b^3\sqrt{5}$
$61+46\sqrt{5}=(a^3+15ab^2)+(3a^2b+5b^3)\sqrt{5}$
$\begin{cases}a^3+15ab^2=61\\ 3a^2b+5b^3=46\end{cases}$
$\begin{cases}a(a^2+15b^2)=61\\ b(3a^2+5b^2)=46\end{cases}$
De vermenigvuldiging $a(a^2+15b^2)=61$ kan alleen $1\cdot 61$ zijn. Hieruit volgt $a=1$ . Dat geeft $b=2$ . Dit klopt ook met de andere vergelijking en dat is dus de oplossing.

Uitwerking b:

$\sqrt[3]{135+78\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3}$
$135+78\sqrt{5}=(a+b\sqrt{3})^3$
$135+78\sqrt{5}=a^3+3a^2b\sqrt{3}+9ab^2+3b^3\sqrt{3}$
$135+78\sqrt{5}=(a^3+9ab^2)+(3a^2b+3b^3)\sqrt{5}$
$\begin{cases}a^3+9ab^2=135\\ 3a^2b+3b^3=78\end{cases}$
$\begin{cases}a(a^2+9b^2)=135\\ b(3a^2+3b^2)=78\end{cases}$
De vermenigvuldiging $b(3a^2+3b^2)=78$ kan alleen $1\cdot 78$ of $2\cdot 39$ zijn. Hieruit volgt $b=1$ en $b=2$ . Proberen geeft $b=2$ in combinatie met $a=3$ . Dit klopt ook met de andere vergelijking en dat is dus de oplossing.

Uitwerking c:

$\sqrt[3]{99-70\sqrt{2}}=a+b\sqrt{2}$
$99-70\sqrt{2}=(a+b\sqrt{2})^3$
$99-70\sqrt{2}=a^3+3a^2b\sqrt{2}+6ab^2+2b^3\sqrt{2}$
$99-70\sqrt{2}=(a^3+6ab^2)+(3a^2b+2b^3)\sqrt{2}$
$\begin{cases}a^3+6ab^2=99\\ 3a^2b+2b^3=-70\end{cases}$
$\begin{cases}a(a^2+6b^2)=99\\ b(3a^2+2b^2)=-70\end{cases}$
De vermenigvuldiging $a(a^2+6b^2)=99$ kan alleen $1\cdot 99$ , $3\cdot 33$ of $9\cdot 11$ zijn. Proberen geeft $a=3$ in combinatie met $b=-2$ ( $b$ is negatief, omdat de uitkomst van de tweede vergelijking negatief is. Aangezien het stuk binnen de haakjes altijd positief is, volgt daaruit dat $b$ negatief is).

Opdracht 5:
Gegeven is dat $\sqrt[3]{110+74i}$ met $i^2=-1$ een oplossing heeft van de vorm $a+bi$ met $a$ en $b$ geheel. Bereken via exacte weg de waarden van $a$ en $b$ .

Uitwerking:

$\sqrt[3]{110+74i}=a+bi$
$110+74i=(a+b i)^3$
$110+74i=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i$
$110+74i=(a^3-3ab^2)+(a^2b-b^3)i$
$\begin{cases}a^3-3ab^2=110\\ 3a^2b-b^3=74\end{cases}$
$\begin{cases}a(a^2-3b^2)=110\\ b(3a^2-b^2)=74\end{cases}$
De vermenigvuldiging $b(3a^2-b^2)=74$ kan alleen $1\cdot 74$ , $-1\cdot -74$ , $2\cdot 37$ of $-2\cdot -37$ zijn. De mogelijkheden afgaan, geeft $b=1$ met $a=5$ .

Opdracht 6:
a) Gegeven is dat $\sqrt{-3-4i}$ twee oplossingen heeft van de vorm $a+bi$ . Vind beide oplossingen.
b) Leg aan de hand van opdracht a uit waarom wiskundigen de wortelnotatie liever niet gebruiken bij niet-positieve-getallen (bij hogeremachtswortels speelt hetzelfde probleem).

Uitwerking a:

$\sqrt{-3-4i}=a+bi$
$-3-4i=a^2+2abi-b^2$
$-3-4i = (a^2-b^2)+2abi$
$\begin{cases}a^2-b^2=-3\\ 2ab=-4\end{cases}$
Uit $2ab=-4$ en dus $ab=-2$ volgt $a=-2\vee a=-1\vee a=1\vee a=2$ . De mogelijkheden langsgaan, geeft $a=1\wedge b=-2$ en $a=-1\wedge b=2$ . De oplossingen zijn dus $1-2i$ en $-1+2i$ .

Uitwerking b:

Je wilt dat uit een rekensom altijd één duidelijk antwoord komt. Hier zijn er twee mogelijke antwoorden, waarbij er geen duidelijke goede keus is. Dat is dus niet fijn. Eigenlijk proberen wiskundigen wortels van niet-positieve getallen daarom liever te vermijden. Dat lukt echter niet altijd (zoals bij de formule voor derdegraadsvergelijkingen). In die gevallen kun je echter vaak met iedere oplossing van de wortel verder werken (het feit dat we bij de derdemachtswortel maar met één oplossing verder werken verklaart dat we de andere twee oplossingen verliezen en die vervolgens nog met ontbinden moeten uitrekenen).

Pagina's: 1234