Les 2: derdegraads vergelijkingen – Pagina 5

Oplostechniek veralgemeniseren

In het boek maken ze uiteindelijk de formule $x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ voor de vergelijking $x^3+px=q$ . In de opdracht hieronder leid je deze formule af.

Opdracht 9 (uitdagend!):
a) Laat zien dat als je $x^{\,3}+px=q$ oplost via de manier uit deze les dat je op $x_3=\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\vee x_3=\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$ uitkomt.
b) Toon uit het bovenstaande aan dat een oplossing van $x^{\,3}+px=q$ inderdaad het antwoord $x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ uit het boek is.
c) Leg uit dat je hiermee direct ook hebt aangetoond dat $x_1$ de som is van de twee mogelijke waarden van $x_2$ .

Uitwerking a:

$x=x_2+\frac{t}{x_2}$ substitueren in $x^{3}+px-q=0$ geeft:
$(x_2+\frac{t}{x_2})^{\,3}+p(x_2+\frac{t}{x_2})-q=0$
$x_2^{\,3}+3x_2^{\,2}\cdot\frac{t}{x_2}+3x_2\cdot\frac{t^2}{x_2^{\,2}}+\frac{t^3}{x_2^{\,3}}+px_2+p\cdot \frac{t}{x_2}-q=0$
$x_2^{\,3}+3tx_2+3t^2\frac{1}{x_2}+\frac{t^3}{x_2^{\,3}}+px_2+pt\frac{1}{x_2}-q=0$
$x_2^{\,3}+(3t+p)x_2+(3t^2+pt)\frac{1}{x_2}+\frac{t^3}{x_2^{\,3}}-q=0$
De $x_2$ en $\frac{1}{x_2}$ -termen vallen weg als $3t+p=0$ . Dat geeft $3t=-p$ en dus $t=-\frac{1}{3}p$ .
Dit invullen geeft: $x_2^{\,3}+\frac{-\frac{1}{27}p^3}{x_2^{\,3}}-q=0$ oftewel $x_2^{\,3}-\frac{\frac{1}{27}p^3}{x_2^{\,3}}-q=0$
$x_3=x_2^{\,3}$ geeft $x_3-\frac{\frac{1}{27}p^3}{x_3}-q=0$
$x_3^{\,2}-qx_3-\frac{1}{27}p^3=0$
$(x_3-\frac{1}{2}q)^2=\frac{1}{4}q^2+\frac{1}{27}p^3$
$x_3-\frac{1}{2}q=\sqrt{\frac{1}{4}q^2+\frac{1}{27}p^3}\vee x_3-\frac{1}{2}q=-\sqrt{\frac{1}{4}q^2+\frac{1}{27}p^3}$
$x_3=\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\vee x_3=\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$

Hint voor opdracht b:

We willen $x=x_2+\frac{\frac{1}{3}p}{x_2}$ berekenen. Daarbij zien we dat $x_2=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ hoort bij de eerste oplossing van $x_3$ . We moeten dan dus alleen nog laten zien dat dan ook geldt dat $\frac{\frac{1}{3}p}{x_2}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ . Dit kun je doen met behulp van de vergelijking $x_2^{\,3}+\frac{\frac{1}{27}p^3}{x_2^{\,3}}-q=0$ .

Uitwerking b:

De oplossing van a invullen in $x_3=x_2^{\,3}$ geeft:
$x_2=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\vee x_2=\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ . We gaan verder met de eerste oplossing $x_2=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ .
Uit de vergelijking $x_2^{\,3}-\frac{\frac{1}{27}p^3}{x_2^{\,3}}-q=0$ die we in vraag a hadden afgeleid, krijgen we $-\frac{\frac{1}{27}p^3}{x_2^{\,3}}=q-x_2^{\,3}$ .
De oplossing van $x_2$ invullen geeft $-\frac{\frac{1}{27}p^3}{x_2^{\,3}}=q-(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})$ .
$-\frac{\frac{1}{27}p^3}{x_2^{\,3}}=\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$
De derdemachtswortel nemen geeft nu $-\frac{\frac{1}{3}p}{x_2}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ .
We krijgen nu $x=x_2-\frac{\frac{1}{3}p}{x_2}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ wat we moesten aantonen.

Uitwerking c:

De mogelijke waarden voor $x_2$ zijn beide van de vorm $\sqrt[3]{x_3}$ . Uit opdracht a volgt dus dat $x_2=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ en $x_2=\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ de mogelijke waardes van $x_2$ zijn. Deze optellen geeft inderdaad $x_1$ zoals we in opdracht b zien.

Opmerking:
Opdracht 9c geeft ons een manier om nog sneller $x_1$ te bepalen zodra we de oplossingen van $x_2$ hebben. We kunnen namelijk ook de oplossingen van $x_2$ optellen. Toch zou ik bij het oplossen ook altijd de andere manier gebruiken, omdat die je ook een controle geeft of je nog goed bezig bent.

Pagina's: 123456