Les 2: derdegraads vergelijkingen – Pagina 2

Kwadratische vergelijkingen

Om het principe te begrijpen achter wat we gaan doen, gaan we eerst kwadratische vergelijkingen op een soortgelijke manier oplossen als we op de volgende pagina bij derdegraadsvergelijkingen gaan doen.

Opdracht 2:
a) Druk de $x$ -coördinaat van de top van $y=x^2+bx+c$ uit in $b$ en $c$ .
b) Bereken de $x$ -coördinaat van de top van $y=x^2+6x+2$ .
c) Leg uit hoe je uit opgave b kan afleiden dat als je de substitutie $x_1=x+3$ (oftewel $x=x_1-3$ ) uitvoert op $x^2+6x+2=0$ je een kwadratische vergelijking krijgt zonder lineaire term.
d) Voer de transformatie uit opdracht c uit en los de vergelijking exact op voor $x_1$ .
e) Bereken hiermee de exacte oplossing van $x$ voor de oorspronkelijke vergelijking.

Uitwerking a:

$f'(x)=2x+b$
De top is bij $f'(x)=0$ . Dat geeft $2x+b=0$
$2x=-b$
$x_{\text{top}}=-\frac{1}{2}b$

Uitwerking b:

Uit opdracht a: $x_{\text{top}}=\frac{-6}{2}=-3$

Uitwerking c:

Met de transformatie verschuiven we de grafiek en daarmee de top drie naar rechts. Hiermee komt de top bij $x=0$ . Uit de formule van opdracht a hebben we dan dat $0=\frac{-b}{2}$ wat ook $b=0$ geeft. Er is daardoor geen lineaire term meer.

Uitwerking d:

$x=x_1-3$ invullen in $x^2+6x+2=0$ geeft $(x_1-3)^2+6(x_1-3)+2=0$
$x_1^{\,2}-6x_1+9+6x_1-18+2=0$
$x_1^{\,2}=7$
$x_1=-\sqrt{7}\vee x_1=\sqrt{7}$

Uitwerking e:

$x_1=-\sqrt{7}\vee x_1=\sqrt{7}$ invullen in $x=x_1-3$ geeft:
$x=-\sqrt{7}-3\vee x=\sqrt{7}-3$

Opdracht 3:
Los op dezelfde manier als in opdracht 2 de vergelijking $x^2+8x+3=0$ exact op.

Uitwerking:

$f(x)=x^2+8x+3$ geeft $f'(x)=2x+8$
$2x+8=0$ geeft $2x=-8$ en dus $x=-4$
We moeten de functie vier naar rechts schuiven om de top bij $x=0$ te krijgen. Dat geeft $x_1=x+4$ oftewel $x=x_1-4$ .
$x=x_1-4$ invullen in $x^2+8x+3=0$ geeft $(x_1-4)^2+8(x_1-4)+3=0$
$x_1^{\,2}-8x+16+8x_1-32+3=0$
$x_1^{\,2}=13$
$x_1=-\sqrt{13}\vee x_1=\sqrt{13}$
Deze oplossingen invullen in $x=x_1-4$ geeft $x=-\sqrt{13}-4$ en $x=\sqrt{13}-4$ .

Pagina's: 123456