Les 4: derdegraads vergelijkingen deel 2 – Pagina 5

Negatieve wortels en breuken

Op deze pagina zien we nog twee varianten die kunnen gebeuren bij het vereenvoudigen van de wortel. De eerste is dat je een negatief getal onder de wortel kunt krijgen. In opdracht 5 van les 3 heb je geleerd hoe dat werkt.

Opdracht 7:
Los $x^3-7x+6=0$ exact op.

Eindantwoord:

Het eindantwoord is $x=-3\vee x=2\vee x=1$

In feite correspondeert een negatieve wortel met de situatie dat de vergelijking drie oplossingen heeft. Hoe je de andere twee oplossingen kan vinden, bekijken we volgende les.

Opdracht 8:
Los $x^3-5x-\frac{82}{27}=0$ exact op.

Eindantwoord:

Het eindantwoord is $x=\frac{2}[3}\vee x=-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{42}\vee x=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{42}$ .

Uitwerking:

$x=x_2+\frac{t}{x_2}$ substitueren geeft:
$(x_2+\frac{t}{x_2})^3-5(x_2+\frac{t}{x_2})-\frac{82}{27}=0$
$x_2^{\,3}+3x_2^2\cdot \frac{t}{x_2}+3x_2(\frac{t}{x_2})^2+\frac{t^3}{x_2^{\,3}}-5x_2-5\cdot \frac{t}{x_2}-\frac{82}{27}=0$
$x_2^{\,3}+3t\cdot x_2+3t^2\cdot \frac{1}{x_2}+\frac{t^3}{x_2^{\,3}}-5x_2-5t\cdot \frac{1}{x_2}-\frac{82}{27}=0$
$x_2^{\,3}+(3t-5)x_2+(3t^2-5t)\cdot \frac{1}{x_2}+\frac{t^3}{x_2^{\,3}}-\frac{82}{27}=0$
De termen vallen weg voor $3t-5=0$ wat oplost tot $t=\frac{5}{3}$ .
$t=\frac{5}{3}$ invullen geeft $x_2^{\,3}+\frac{\frac{125}{27}}{x_2^{\,3}}-\frac{82}{27}=0$
$x_3=x_2^{\,3}$ geeft $x_3+\frac{\frac{125}{27}}{x_3}-\frac{82}{27}=0$
$x_3^{\,2}-\frac{82}{27}x_3+\frac{125}{27}=0$
$(x_3-\frac{41}{27})^2-\frac{1681}{729}+\frac{125}{27}=0$
$(x_3-\frac{41}{27})^2=-\frac{1694}{729}$
$x_3-\frac{41}{27}=\sqrt{\frac{1694}{729}}i\vee x_3-\frac{41}{27}=-\sqrt{\frac{1694}{729}}i$
$x_3=\frac{41}{27}+\sqrt{\frac{1694}{729}}i\vee x_3=\frac{41}{27}-\sqrt{\frac{1694}{729}}i$
Om straks de truc van het herleiden van de wortel toe te passen, moeten we eerst een zo klein mogelijk getal onder de wortel krijgen.
Hierbij zien we dat $\sqrt{\frac{980}{27}}=\sqrt{\frac{49}{81}}\cdot \sqrt{20\cdot 3}=\frac{7}{9}\sqrt{4}\cdot\sqrt{15}=\frac{14}{9}\sqrt{15}$
$x_3=6+\frac{14}{9}\sqrt{15}$ geeft $x_2=\sqrt[3]{6+\frac{14}{9}\sqrt{15}}$
We moeten nu ook de getallen in de derdemachtswortel geheel en zo klein mogelijk maken. Dat doen we door een $\sqrt[3]{\frac{1}{27}}$ buiten de wortel te halen (de wortel die we eruit halen, moet een breuk als uitkomst hebben, daarom kunnen we niet $\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ uit de wortel halen). Dat geeft:
$x_2=\sqrt[3]{\frac{1}{27}}\cdot \sqrt[3]{6\cdot 27+14\cdot 3\sqrt{15}}$
$x_2=\frac{1}{3}\cdot \sqrt[3]{162+42\sqrt{15}}$
Stel $\sqrt[3]{162+42\sqrt{15}}=a+b\sqrt{15}$
$162+42\sqrt{15}=a^3+3a^2b\sqrt{15}+45ab^2+15b^3\sqrt{15}$
$162+42\sqrt{15}=(a^3+45ab^2)+(3a^2b+15b^3)\sqrt{15}$
$\begin{cases}a^3+45ab^2=162\\ 3a^2b+15b^3=42\end{cases}$
$\begin{cases}a(a^2+45b^2)=162\\ b(3a^2+15b^2)=42\end{cases}$
$b(3a^2+15b^2)$ kan dus $1\cdot 42$ of $2\cdot 21$ zijn (want $3a^2+15b^2\geq 18$ , omdat duidelijk is dat $a\geq 1$ en $b\geq 1$ ). Proberen geeft $b=1$ met $a=3$ .
Dus $x_2=\frac{1}{3}(3+\sqrt{15})=1+\frac{1}{3}\sqrt{15}$
$x=x_2+\frac{t}{x_2}=1+\frac{1}{3}\sqrt{15}+\frac{-\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{3}\sqrt{15}}$
$x=1+\frac{1}{3}\sqrt{15}-\frac{2}{3+\sqrt{15}}$
$x=1+\frac{1}{3}\sqrt{15}-\frac{2(3-\sqrt{15}}{(3+\sqrt{15})(3-\sqrt{15})}$
$x=1+\frac{1}{3}\sqrt{15}-\frac{2(3-\sqrt{15}}{-6}$
$x=1+\frac{1}{3}\sqrt{15}+1-\frac{1}{3}\sqrt{15}=2$
We weten nu dat $x=2$ een oplossing is van $x^3+2x-12=0$ . Dus $x^3+2x-12=(x-2)(\text{iets})$
$\begin{align*}x^3+2x-12&=x^2(x-2)+2x^2+2x-12\\ &= x^2(x-2)+2x(x-2)+6x-12\\ &= x^2(x-2)+2x(x-2)+6(x-2)\\ &=(x^2+2x+6)(x-2)\end{align*}$
De andere twee oplossingen krijgen we dus uit $x^2+2x+6=0$ . Kwadraat afsplitsen geeft:
$(x+1)^2-1+6=0$
$(x+1)^2=-5$
$x+1=\sqrt{5}i\vee x+1=-\sqrt{5}i$
$x=-1+\sqrt{5}i\vee x=-1-\sqrt{5}i$
Conclusie: Het eindantwoord is $x=2\vee x=-1-\sqrt{5}i\vee x=-1+\sqrt{5}i$ .

Pagina's: 12345