Contextsommen – Pagina 3

Een foto van de Eusebiuskerk

We bekijken de volgende goniometrische formule:

$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\quad\quad (1)$

De juistheid van deze formule kan worden bewezen door gebruik te maken van:

$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}\quad\quad (2)$

Opdracht 13: (3 punten)
Bewijs dat formule 1 juist is.

Formuleblad:

Aanpak:

Grofweg zijn er drie manieren om in zo’n geval de formule te bewijzen:

We kunnen laten zien dat formule 1 uit formule 2 volgt.
We kunnen $\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}$ met rekenregels (en formule 2) herschrijven tot $\tan(\alpha-\beta)$ .
We kunnen $\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}$ en $\tan(\alpha-\beta)$ (met formule 2) beide een stukje herleiden. Als we dan in beide gevallen op dezelfde uitdrukking komen, weten we dat de beginregels gelijk aan elkaar zijn en dat formule 1 dus geldt.

Persoonlijk begin ik dus altijd aan één van beide kanten en ga ik herleiden. Als ik dan op een gegeven moment niet zie hoe het verder moet, begin ik ook aan de andere kant. Meestal kom je dan in de midden wel goed uit.

Uitwerking met halverwege samenkomen:

$\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}=\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1+\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$
Vermenigvuldigen met $\cos(\alpha)\cos(\beta)$ geeft:
$\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)}$
$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}$
Met het formuleblad wordt dit:
$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)}$
We zien dat zowel $\tan(\alpha-\beta)$ als $\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}$ gelijk is aan $\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1+\frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}$ . Ze zijn daarom ook gelijk aan elkaar. Formule 1 is dus juist.

Uitwerking startend met $\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}$ :

$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}$
Met het formuleblad wordt dit:
$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)}$
Teller en noemer delen door $\cos(\alpha)\cos(\beta)$ geeft:
$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1+\frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}$
$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1+\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$
$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}$
Conclusie: Formule 1 is juist.

Opmerking: Aangezien het een bewijsvraag is (en het antwoord dus weggegeven is), moet je laatste stap zo klein mogelijk zijn. Daarom is de tussenstap waarbij ik $\frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}$ eerst splits als

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\cdot \frac{\sin(\beta)

*** Error message:
File ended while scanning use of \frac .
Emergency stop.

voordat ik $\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}$ opschrijf daarom nodig. Je moet de nakijker echt overtuigen dat je bedacht hebt waarom de laatste stap geldt en dat je het niet simpelweg hebt overgeschreven.

Uitwerking startend met $\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}$ :

$\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}=\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1+\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$
Vermenigvuldigen met $\cos(\alpha)\cos(\beta)$ geeft:
$\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)}$
Met de rekenregels op het formuleblad is dit gelijk aan:
$\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}$
Met formule 2 wordt dit:
$\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}=\tan(\alpha-\beta)$ .
Conclusie: Formule 1 is juist.

Een fotograaf wil de toren van de Eusebiuskerk in Arnhem zo duidelijk mogelijk op de foto krijgen. Hij vraagt zich af op welke afstand hij dan moet gaan staan. Deze afstand berekenen we in deze opgave.

In figuur 1 is de situatie schematisch weergegeven. Punt $A$ is een punt aan de voet van de toren. De punten $B$ en $C$ liggen beide recht boven punt $A$ . Punt $B$ ligt op een hoogte van 27 meter boven $A$ . Punt $C$ ligt op een hoogte van 75 meter boven $A$ . De fotograaf staat bij punt $P$ op een afstand van $x$ meter van $A$ . Hij zet zijn camera in $P$ op de grond zó dat alleen het deel van de toren tussen $B$ en $C$ op de foto staat. Er geldt: $\angle PAB=90^{\circ}$ . Verder is $\alpha=\angle APC$ , $\beta=\angle APB$ en $\phi=\alpha-\beta$ . We noemen $\phi$ de kijkhoek.

Door gebruik te maken van formule 1 is het mogelijk $\tan(\phi)$ uit te drukken in $x$ . Er geldt:

$\tan(\phi)=\frac{48x}{x^2+2025}\quad\quad (3)$

Opdracht 14: (3 punten)
Bewijs dat formule 3 juist is.

Aanpak:

Boven de vraag staat dat we formule 1 moeten gebruiken. Om die in te kunnen vullen, hebben we eerst uitdrukkingen voor $\tan(\alpha)$ en $\tan(\beta)$ nodig. Die halen we uit het plaatje en substitueren we dan in formule 1 (waarbij we ook gebruiken dat $\phi = \alpha - \beta$ ).

Tot slot moeten we deze formule nog herschrijven naar de gevraagde vorm. Bij breuken in breuken is de standaardtruc om teller en noemer te vermenigvuldigen met de noemer van de breuk in de breuk. Hierdoor verandert de breuk niet van waarde, maar verdwijnt wel de breuk in de breuk.

Uitwerking:

$\tan(\alpha)=\frac{75}{x}$
$\tan(\beta)=\frac{27}{x}$
$\tan(\phi)=\tan(\alpha-\beta)$
Deze formules voor $\tan(\alpha)$ en $\tan(\beta)$ substitueren in formule 1 geeft:
$\tan(\phi)=\frac{\frac{75}{x}-\frac{27}{x}}{1+\frac{75}{x}\cdot \frac{27}{x}}$
$\tan(\phi)=\frac{\frac{48}{x}}{1+\frac{2025}{x^2}}$
Teller en noemer vermenigvuldigen met $x^2$ geeft $\tan(\alpha-\beta)=\frac{48x}{2025+x^2}$
Conclusie: $\tan(\phi)=\frac{48x}{x^2+2025}$

Opmerking: Ook hier moeten we weer een formule bewijzen, waarbij we de nakijker dus moeten overtuigen dat we begrijpen waar de laatste stap vandaan komt. Om dit voor de nakijker volstrekt duidelijk te maken aan de nakijker, vermeld ik erbij wat ik doe (teller en noemer vermenigvuldigen met $x^2$ en draai ik de $x^2$ en de $2025$ ook nog even in een aparte stap om.

In figuur 2 is de grafiek van de functie $g$ met functievoorschrift $g(x)=\frac{48x}{x^2+2025}$ geschetst.

Om het deel van de toren tussen $B$ en $C$ zo duidelijk mogelijk op de foto te krijgen, moet kijkhoek $\phi$ maximaal zijn. Dat is het geval als $\tan(\phi)$ maximaal is. In figuur 2 is te zien dat er een waarde van $x$ bestaat waarvoor $g(x)$ en dus $\tan(\phi)$ maximaal is.

Opdracht 15: (4 punten)
Bereken exact op welke afstand de fotograaf moet staan zodat de kijkhoek maximaal is.

Aanpak:

In de tekst boven de opgave staat dat de kijkhoek maximaal is als $g(x)$ maximaal is. Een maximum bereken je exact met afgeleide is nul. We berekenen dus eerst de afgeleide van $g(x)$ . Dit doe je met de quotiëntregel ( $\frac{\text{nat}-\text{tan}}{\text{n}^2}$ .

Vervolgens willen we een breuk gelijkstellen aan nul. Dat kan alleen als de teller van de breuk nul is. Deze vergelijking oplossen geeft het antwoord.

Uitwerking:

De quotiëntregel geeft $g'(x)=\frac{(x^2+2025)\cdot 48-48x\cdot 2x}{(x^2+2025)^2}$
$g'(x)=\frac{48x^2+97200-96x^2}{(x^2+2025)^2}$
$g'(x)=\frac{-48x^2+97200}{(x^2+2025)^2}$
$g'(x)=0$ geeft $-48x^2+97200=0$
$-48x^2=-97200$
$x^2=2025$
$x=45$ (want $x=-45$ voldoet niet)

Pagina's: 123