Contextsommen – Pagina 2

Het uiteinde van een wip

We bekijken in deze opgave een wiskundig model voor de beweging van het uiteinde van een wip.

Lijnstuk $PQ$ met midden $M$ en lengte 4 draait om $M$ . De hoogte van $M$ is 1. Zie figuur 1. We kijken naar het verloop van de hoogte $h$ van $P$ . Op tijdstip $t=0$ is de hoogte van $P$ gelijk aan 0. Van $t=0$ tot $t=2$ beweegt $P$ omhoog. In figuur 1 is het lijnstuk getekend op drie tijdstippen: op $t=0$ , op $t=\frac{4}{3}$ en op $t=2$ .

De hoogte van $P$ tijdens de omhooggaande beweging wordt beschreven door het volgende model:

fase 1: $h_1(t)=1+2\sin(\frac{3\pi}{10}t^2-\frac{\pi}{6})\quad\quad \text{ voor } 0\leq t\leq \frac{1}{3}$
fase 2: $h_2(t)=1+2\sin(\frac{\pi}{5}t-\frac{\pi}{t})\quad\quad \text{ voor } \frac{1}{3}<t\leq\frac{5}{3}$
fase 3: $h_3(t)=1+2\sin(\frac{-3\pi}{10}t^2+\frac{6\pi}{5}t-\frac{31\pi}{30})\quad \text{ voor } \frac{5}{3}<t\leq 2$

Hierin zijn $h_1$ , $h_2$ en $h_3$ de hoogtes van $P$ in de verschillende fasen.

In figuur 2 is de grafiek van de hoogte van $P$ in de fasen 1, 2 en 3 getekend.

De hoogte van $P$ aan het eind van fase 2 is $h_2(\frac{5}{3})$ . Door $t=\frac{5}{3}$ in te vullen in de formule van $h_3$ kan worden bewezen dat de hoogte van $P$ aan het begin van fase 3 gelijk is aan de hoogte van $P$ aan het eind van fase 2.

Opdracht 3: (3 punten)
Bewijs dat deze hoogtes gelijk zijn.

Aanpak:

Uit de tekst boven de opdracht halen we dat de hoogte aan het eind van fase 2 gelijk is aan $h_2(\frac{5}{3})$ en dat de hoogte aan het begin van fase 3 gelijk is aan $h_3(\frac{5}{3})$ . We moeten deze waarden dus berekenen en herschrijven totdat ze gelijk aan elkaar zijn.

De voornaamste uitdaging hierbij is dat dit exact moet. Als je iets als $\frac{-3\pi}{10}(\frac{5}{3})^2+\frac{6\pi}{5}\cdot\frac{5}{3}-\frac{31\pi}{30}$ in je GR invult, krijg je een benaderd getal (wat dus niet mag). Een goede truc is dan om iedere term zonder de $\pi$ in te voeren. Dat geeft $\frac{-3}{10}(\frac{5}{3})^2+\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{3}-\frac{31}{30}$ . Dit rekent je GR wel voor je uit en die geeft als antwoord $\frac{2}{15}$ . De uitdrukking waarbij in iedere term nog keer $\pi$ staat, moet dan ook keer $\pi$ . Daaruit halen we dat $\frac{-3\pi}{10}(\frac{5}{3})^2+\frac{6\pi}{5}\cdot\frac{5}{3}-\frac{31\pi}{30}=\frac{2}{15}\pi$ .

Als je dit bij $h_2(\frac{5}{3})$ en $h_3(\frac{5}{3})$ goed doet, zou er bij allebei hetzelfde uit moeten komen.

Uitwerking:

$h_2(\frac{5}{3})=1+2\sin(\frac{\pi}{5}\cdot\frac{5}{3}-\frac{\pi}{5})$
$h_2(\frac{5}{3})=1+2\sin(\frac{2}{15}\pi)$
$h_3(\frac{5}{3})=1+2\sin(\frac{-3\pi}{10}(\frac{5}{3})^2+\frac{6\pi}{5}\cdot\frac{5}{3}-\frac{31\pi}{30})$
$h_3(\frac{5}{3})=1+2\sin(\frac{2}{15}\pi)$
Er geldt dus dat $h_2(\frac{5}{3})=h_3(\frac{5}{3})$ .
Conclusies: De hoogte aan het begin van fase 3 is gelijk aan de hoogte aan het eind van fase 2.

De helling van de grafiek van $h_2$ aan het begin van fase 2 is $\frac{2\pi}{5}\cos(\frac{2\pi}{15})$ .

Opdracht 4: (4 punten)
Bewijs dat de helling van de grafiek van $h_1$ aan het eind van fase 1 hieraan gelijk is.

Aanpak:

De vraag is eigenlijk om te bewijzen dat de helling van $h_1$ op het eind van fase 1 (dat is bij $t=\frac{1}{3}$ ) gelijk is aan $\frac{2\pi}{5}\cos(\frac{2\pi}{15})$ . Deze helling krijgen we door $h_1'(\frac{1}{3})$ te berekenen. We moeten hierbij dus het volgende doen:

Het berekenen van de afgeleide van $h_1'(t)$
Het berekenen van $h_1'(\frac{1}{3})$
De uitdrukking van $h_1'(\frac{1}{3})$ herleiden totdat er $h_1'(\frac{1}{3})$ uitkomt.

Bij de derde stap heb je op het einde nog de rekenregel $\cos(A)=\cos(-A)$ nodig. Zorg bij dit omschrijven dat je niet te veel stappen tegelijk zet. Aangezien het eindantwoord $\frac{2\pi}{5}\cos(\frac{2\pi}{15})$ gegeven is, moet het voor de nakijker echt duidelijk zijn dat je begrijpt hoe je daar komt (en dat je niet zomaar het eindantwoord overschrijft).

Uitwerking:

$h_1'(t)=2\cos(\frac{3\pi}{10}t^2-\frac{\pi}{6})\cdot \frac{3\pi}{5}t$
$h_1'(\frac{1}{3})=2\cos(\frac{3\pi}{10}(\frac{1}{3})^2-\frac{\pi}{6})\cdot \frac{3\pi}{5}\cdot \frac{1}{3}$
$h_1'(\frac{1}{3})=2\cos(\frac{\pi}{30}-\frac{\pi}{6})\cdot \frac{1}{5}\pi$
$h_1'(\frac{1}{3})=\frac{2\pi}{5}\cos(-\frac{2\pi}{15})$
Met de rekenregel $\cos(A)=\cos(-A)$ krijgen we $h_1'(\frac{1}{3})=\frac{2\pi}{5}\cos(\frac{2\pi}{15})$ zoals gevraagd.

Voor elke waarde van $a$ , met $0<a<\frac{2}{3}$ , geldt:

$\frac{h_2(1-a)+h_2(1+a)}{2}=1$

Opdracht 5: (4 punten)
Bewijs deze gelijkheid.

Aanpak:

Een standaardmanier hoe je dit soort vragen altijd mag oplossen, is om $h_2(1-a)$ en $h_2(1+a)$ te substitueren in $\frac{h_2(1-a)+h_2(1+a)}{2}=1$ en die dan op te gaan lossen als een vergelijking. Als hier uiteindelijk een vergelijking uitkomt die duidelijk altijd waar is (zoals $0=0$ ), mag je concluderen dat de oorspronkelijke vergelijking voor iedere waarde van $a$ waar is.

Na het invullen moet je de vergelijking stap voor stap versimpelen en heb je verder nog de rekenregel $\sin(-A)=-\sin(A)$ nodig. Zorg dat je dit soort rekenregels uit je hoofd kent. Als je die niet kent, kun je eventueel nog met het formuleblad de regel afleiden door de rekenregel voor $\sin(t-u)$ te gebruiken en voor $t$ nul in te vullen. Je krijgt dan $\sin(-u)=\sin(0-u)=\sin(0)\cos(u)-\cos(0)\sin(u)=-\sin(u)$ .

Uitwerking met oplossen vergelijking:

$\frac{h_2(1-a)+h_2(1+a)}{2}=1$ geeft
$h_2(1-a)+h_2(1+a)=2$
$1+2\sin(\frac{\pi}{5}(1-a)-\frac{\pi}{5})+1+2\sin(\frac{\pi}{5}(1+a)-\frac{\pi}{5})=2$
$2\sin(-\frac{\pi}{5}\cdot a)+2\sin(\frac{\pi}{5}\cdot a)=0$
Met de rekenregel $\sin(-A)=-\sin(A)$ wordt dit:
$-2\sin(\frac{\pi}{5}\cdot a)+2\sin(\frac{\pi}{5}\cdot a)=0$
$0=0$
Aangezien deze vergelijking voor iedere $a$ waar is, geldt de vergelijking $\frac{h_2(1-a)+h_2(1+a)}{2}=1$ .

Uitwerking met argument puntsymmetrie:

De gelijkheid die we moeten aantonen komt overeen met dat $h_2$ puntsymmetrisch is ten opzichte van $(1,1)$ .
Een sinusoïde is puntsymmetrisch in elk punt dat op de evenwichtsstand ligt.
De evenwichtsstand van $h_2$ is $y=1$ .
$h_2(1)=1+2\sin(0)=1$ , dus de grafiek van $h_2$ is puntsymmetrisch ten opzichte van $(1,1)$ .
Conclusie: De vergelijking $\frac{h_2(1-a)+h_2(1+a)}{2}=1$ geldt.

Pagina's: 123