Examen 2026 tijdvak 1 – Pagina 3

Twee snijpunten

De functie $f$ wordt voor $0< x\leq 2$ gegeven door:

$f(x)=2\ln(x)+\frac{3}{2x}-1$

Op de grafiek van $f$ ligt het punt $P$ met $x_P=\frac{1}{2}$ . De lijn $k$ raakt de grafiek van $f$ in $P$ . De lijn $m$ staat loodrecht op lijn $k$ en raakt de grafiek van $f$ in het punt $Q$ . Zie de figuur.

Opdracht 3: (6 punten)
Bereken exact de $x$ -coördinaat van $Q$ .

Aanpak:

Dit is een type opdracht waar je alle onbekenden in iedere zin één voor één moet berekenen in de volgorde waarin ze geïntroduceerd worden:

Eerst stel je de formule op van de raaklijn $k$ .
Vervolgens bereken je de richtingscoëfficiënt van de lijn $m$ .
Tot slot kun je $Q$ berekenen uit het feit dat $f$ en $m$ rakende grafieken zijn.

Voor de derde stap moet je weten dat raken betekent dat $\begin{cases}f(x)=m(x)\\ f'(x)=m'(x)\end{cases}$ . De truc hierbij is altijd om de eenvoudigste vergelijking op te lossen. In dit geval is de enige vergelijking die je kan oplossen $f'(x)=m'(x)$ . Dit komt, omdat je het begingetal van $m(x)$ niet kan weten. Een plaatje is immers niet exact en mag je dus niet gebruiken om uit af te lezen dat een lijn door de oorsprong gaat.

Uitwerking met $f(x)= 2\ln(x)+\frac{3}{2}x^{-1}-1$ :

$f(x)=2\ln(x)+\frac{3}{2}x^{-1}-1$
$f'(x)=2\cdot \frac{1}{x}-\frac{3}{2}x^{-2}$
$f'(x)=\frac{2}{x}-\frac{3}{2x^2}$
$a_k=f'(\frac{1}{2})=\frac{2}{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2(\frac{1}{2})^2} = -2$
$a_m=\frac{-1}{a_k}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$
$f'(x)=a_m$ geeft $\frac{2}{x}-\frac{3}{2x^2}=\frac{1}{2}$
Vermenigvuldigen met $2x^2$ geeft $4x-3=x^2$
$x^2-4x+3=0$
$(x-1)(x-3)=0$
$x_Q=1$ (want $x=3$ ligt niet in het interval $0<x\leq 2$ )

Uitwerking met $f(x)=2\ln(x)+3(2x)^{-1}-1$ :

$f(x)=2\ln(x)+3(2x)^{-1}-1$
$f'(x)=2\cdot \frac{1}{x}-3(2x)^{-2}\cdot 2$
$f'(x)=\frac{2}{x}-\frac{6}{4x^2}$
$a_k=f'(\frac{1}{2})=\frac{2}{\frac{1}{2}}-\frac{6}{4(\frac{1}{2})^2} = -2$
$a_m=\frac{-1}{a_k}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$
$f'(x)=a_m$ geeft $\frac{2}{x}-\frac{3}{2x^2}=\frac{1}{2}$
Vermenigvuldigen met $2x^2$ geeft $4x-3=x^2$
$x^2-4x+3=0$
$(x-1)(x-3)=0$
$x_Q=1$ (want $x=3$ ligt niet in het interval $0<x\leq 2$ )

Uitwerking met substitutie:

$f(x)=2\ln(x)+\frac{3}{2}x^{-1}-1$
$f'(x)=2x^{-1}-\frac{3}{2}x^{-2}$
$f'(x)=\frac{2}{x}-\frac{3}{2x^2}$
$a_k=f'(\frac{1}{2})=\frac{2}{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2(\frac{1}{2})^2} = -2$
$a_m=\frac{-1}{a_k}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$
$f'(x)=a_m$ geeft $2x^{-1}-\frac{3}{2}x^{-2}=\frac{1}{2}$
Substitutie van $t=x^{-1}$ geeft: $2t-\frac{3}{2}t^2=\frac{1}{2}$
$\frac{3}{2}t^2-2t+\frac{1}{2}=0$
$D=(-2)^2-4\cdot \frac{3}{2}+\frac{1}{2}=1$
$t=\frac{2-\sqrt{1}}{2\cdot \frac{3}{2}}\vee t=\frac{2+\sqrt{1}}{2\cdot \frac{3}{2}}$
$t=\frac{1}{3}\vee t=1$
$x^{-1}=\frac{1}{3}\vee x^{-1}=1$
$\frac{1}{x}=\frac{1}{3}\vee \frac{1}{x}=1$
$x=3\vee x=1$
Alleen $x_Q=1$ voldoet, want $x=3$ ligt niet in het interval $0<x\leq 2$ .

De functie $g$ wordt gegeven door: $g(x)=2\ln(2x)+\frac{3}{4x}-1$

Het is mogelijk de grafiek van $g$ te laten ontstaan uit de grafiek van $f$ door middel van één transformatie.

Opdracht 4: (2 punten)
Geef deze transformatie.

Aanpak:

We krijgen $g(x)$ door in $f(x)$ alle $x$ ‘en te vervangen door $2x$ . Je moet hebben geleerd wat voor transformatie daarbij hoort (pak de theorie erbij als je dit vergeten bent!).

Uitwerking met kijken wat er veranderd is:

Als we in $f$ de $x$ substitueren door $2x$ krijgen we $g$ .
$2x$ is hetzelfde als $\frac{1}{1/2}x$ .
Het is daarom een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$ -as met factor $\frac{1}{2}$ .

Uitwerking met transformatieformules:

Als we in $f$ de $x$ substitueren met $2x$ krijgen we $g$ .
Daarbij hoort de transformatieformule $x_1=2x_0$ .
Dat is hetzelfde als $x_0=\frac{1}{2}x_1$ .
De factor is daarom $\frac{1}{2}$ .
Omdat de $x$ -coördinaten halveren is het een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$ -as.
Het is daarom een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$ -as met factor $\frac{1}{2}$ .

De grafieken van $f$ en $g$ snijden elkaar in het punt $S$ .

Opdracht 5: (4 punten)
Bereken exact de $x$ -coördinaat van $S$ .

Aanpak:

Het snijpunt $S$ krijgen we door $f(x)=g(x)$ op te lossen. Daarbij helpt het om alle logaritmes naar één kant van het gelijkheidsteken te halen en de breuken naar de andere kant. Vervolgens kun je de logaritmen samennemen met behulp van de rekenregel $\ln(A)-\ln(B)=\ln(\frac{A}{B})$ . Ook de breuken kun je samennemen, waarna je een vergelijking met één $x$ krijgt die je kan oplossen.

Uitwerking met $2\ln(2x)-2\ln(x)$ :

$f(x)=g(x)$ geeft $2\ln(x)+\frac{3}{2x}-1=2\ln(2x)+\frac{3}{4x}-1$
$\frac{3}{2x}-\frac{3}{4x}=2\ln(2x)-2\ln(x)$
$\frac{3}{2x}-\frac{3}{4x}=\frac{6}{4x}-\frac{3}{4x}=\frac{3}{4x}$
$2\ln(2x)-2\ln(x)=\ln((2x)^2)-\ln(x^2)=\ln(4x^2)-\ln(x^2)=\ln(\frac{4x^2}{x^2})=\ln(4)$
Bovenstaande regels invullen in $\frac{3}{2x}-\frac{3}{4x}=2\ln(2x)-2\ln(x)$ geeft:
$\frac{3}{4x}=\ln(4)$
$3=\ln(4)\cdot 4x$
$x=\frac{3}{4\ln(4)}$ (of een gelijkwaardige uitdrukking als $x=\frac{3}{8\ln(2)}$ )

Uitwerking met $2\ln(2x)$ splitsen:

$f(x)=g(x)$ geeft $2\ln(x)+\frac{3}{2x}-1=2\ln(2x)+\frac{3}{4x}-1$
$\frac{3}{2x}-\frac{3}{4x}=2\ln(2x)-2\ln(x)$
$\frac{6}{4x}-\frac{3}{4x}=2(\ln(2)+\ln(x))-2\ln(x)$
$\frac{6}{4x}-\frac{3}{4x}=2\ln(2)+2\ln(x)-2\ln(x)$
$\frac{3}{4x}=2\ln(2)$
$3=8\ln(2)x$
$x=\frac{3}{8\ln(2)}$ (of een gelijkwaardige uitdrukking)

Uitwerking met $2(\ln(2x)-\ln(x))$ :

$f(x)=g(x)$ geeft $2\ln(x)+\frac{3}{2x}-1=2\ln(2x)+\frac{3}{4x}-1$
$\frac{3}{2x}-\frac{3}{4x}=2\ln(2x)-2\ln(x)$
$\frac{3}{2x}-\frac{3}{4x}=\frac{6}{4x}-\frac{3}{4x}=\frac{3}{4x}$
$2\ln(2x)-2\ln(x)=2(\ln(2x)-\ln(x)) = 2\ln(\frac{2x}{x})=2\ln(2)$
Bovenstaande regels invullen in $\frac{3}{2x}-\frac{3}{4x}=2\ln(2x)-2\ln(x)$ geeft:
$\frac{3}{4x}=2\ln(2)$
$3=8\ln(2)\cdot x$
$x=\frac{3}{8\ln(2)}$ (of een gelijkwaardige uitdrukking)

Uitwerking met $2\ln(x)-2\ln(2x)$ :

$f(x)=g(x)$ geeft $2\ln(x)+\frac{3}{2x}-1=2\ln(2x)+\frac{3}{4x}-1$
$2\ln(x)-2\ln(2x)=\frac{3}{4x}-\frac{3}{2x}$
$\frac{3}{4x}-\frac{3}{2x}=\frac{3}{4x}-\frac{6}{4x}=-\frac{3}{4x}$
$\begin{align*}2\ln(x)-2\ln(2x)&=\ln(x^2)-\ln((2x)^2)\\ &=\ln(x^2)-\ln(4x^2)\\ &=\ln(\frac{x^2}{4x^2})\\ &=\ln(\frac{1}{4})\end{align*}$
Bovenstaande regels invullen in $2\ln(x)-2\ln(2x)=\frac{3}{4x}-\frac{3}{2x}$ geeft:
$\ln(\frac{1}{4})=-\frac{3}{4x}$
$4\ln(\frac{1}{4})x=-3$
$x=\frac{-3}{4\ln(\frac{1}{4})}$ (of een gelijkwaardige uitdrukking als $x=\frac{3}{8\ln(2)}$ )

Uitwerking met $2(\ln(x)-\ln(2x))$ :

$f(x)=g(x)$ geeft $2\ln(x)+\frac{3}{2x}-1=2\ln(2x)+\frac{3}{4x}-1$
$2\ln(x)-2\ln(2x)=\frac{3}{4x}-\frac{3}{2x}$
$\frac{3}{4x}-\frac{3}{2x}=\frac{3}{4x}-\frac{6}{4x}=-\frac{3}{4x}$
$2\ln(x)-2\ln(2x)=2(\ln(x)-\ln(2x))=2\ln(\frac{x}{2x})=2\ln(\frac{1}{2})$
Bovenstaande regels invullen in $2\ln(x)-2\ln(2x)=\frac{3}{4x}-\frac{3}{2x}$ geeft:
$2\ln(\frac{1}{2})=-\frac{3}{4x}$
$2\ln(\frac{1}{2})x=-3$
$x=\frac{-3}{2\ln(\frac{1}{2})}$ (of een gelijkwaardige uitdrukking als $x=\frac{3}{8\ln(2)}$ )

Pagina's: 12345678