Bewegingsvergelijkingen (VWO 6 wis B) – Pagina 8

Lus

Een punt beweegt in het $Oxy$ -vlak volgens de bewegingsvergelijkingen

$\begin{cases}x(t)=t^2-1\\y(t)=t(t^2-1)\end{cases}$

Hierin is $t$ de tijd.
De baan van het punt heeft de vorm van een lus. Het punt bevindt zich op de tijdstippen $t=-1$ en $t=1$ in de oorsprong $O$ . In $O$ heeft de baan van het punt twee raaklijnen.
Het bewegende punt passeert achtereenvolgens twee punten $A$ en $B$ waar de raaklijn aan de baan evenwijdig is met één van de raaklijnen in $O$ . Zie de figuur.

De benodigde tijd om van $O$ naar $A$ te bewegen, de benodigde tijd om van $A$ naar $B$ te bewegen en de benodigde tijd om van $B$ naar $O$ te bewegen, zijn alle drie even lang.

Opdracht 11: (6 punten)
Toon dit aan.

Aanpak:

We hebben geleerd dat de snelheidsvector de richting van de raaklijn aan de kromme geeft. Nu vind ik het zelf altijd gemakkelijker om te redeneren met richtingscoëfficiënten dan met richtingsvectoren. Ik schrijf een richtingsvector $\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ daarom eigenlijk altijd graag om naar een richtingscoëfficiënt $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{d}{c}$ .

Als je dat hier doet met de snelheidsvector $\overrightarrow{v(t)}=\begin{pmatrix}2t\\3t^2-1\end{pmatrix}$ krijg je de richtingscoëfficiënt $a=\frac{3t^2-1}{2t}$ . We krijgen nu de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen door de oorsprong door hier $t=1$ en $t=-1$ in te vullen. Vervolgens moeten we de vergelijkingen $a=\text{waarde a bij t=1}$ en $a=\text{waarde a bij t=-1}$ oplossen. Aangezien er geen exact, algebraïsch of bewijs in de opdracht staat, mag dit met de GR. Als het goed is, komen hier de waarden $t=-\frac{1}{3}$ en $t=\frac{1}{3}$ uit, want dan duren de drie periodes even lang.

Opmerking: Bij dit soort vragen mag je vaak ook de andere kant op redeneren. Als je aantoont dat bij $t=-\frac{1}{3}$ en bij $t=\frac{1}{3}$ de raaklijn evenwijdig lopen met een raaklijn in $O$ kun je ook de conclusie trekken. Hierop is het tweede antwoordalternatief gebaseerd.

Uitwerking met richtingscoëfficiënten:

$\overrightarrow{s(t)}=\begin{pmatrix}t^2-1\\t^3-t\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v(t)}=\begin{pmatrix}2t\\3t^2-1\end{pmatrix}$
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn op tijdstip $t$ is $a=\frac{3t^2-1}{2t}$
Op $t=1$ geldt: $a=\frac{3\cdot 1^2-1}{2\cdot 1}=1$ .
Op $t=-1$ geldt: $a=\frac{3\cdot (-1)^2-1}{2\cdot -1}=-1$ .
De vergelijking $a=1$ geeft $\frac{3t^2-1}{2t}=1$ .
Voer in: $\begin{cases}Y_1=\frac{3x^2-1}{2x}\\Y_2 =1\end{cases}$
Optie intersect geeft $x=1\vee x=-\frac{1}{3}$ .
Bij punt $A$ hoort dus $t=-\frac{1}{3}$ .
De vergelijking $a=-1$ geeft $\frac{3t^2-1}{2t}=-1$ .
Voer in: $\begin{cases}Y_1=\frac{3x^2-1}{2x}\\Y_2 =-1\end{cases}$
Optie intersect geeft $x=-1\vee x=\frac{1}{3}$ .
Bij punt $B$ hoort dus $t=\frac{1}{3}$ .
De benodigde tijd van $O$ naar $A$ is $-\frac{1}{3}--1=\frac{2}{3}$ .
De benodigde tijd van $A$ naar $B$ is $\frac{1}{3}--\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ .
De benodigde tijd van $B$ naar $O$ is $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ .
Conclusie: De drie benodigde tijden zijn alle drie even lang.

Uitwerking met even lange stukken:

De totale tijd over de drie stukken is $1--1=2$ .
De stukken zijn dus even lang als ieder stuk $\frac{2}{3}$ is.
Als de stukken even lang zijn, hoort bij $A$ de waarde $t=-1+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$ en bij $B$ de waarde $t=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ .
$\overrightarrow{s(t)}=\begin{pmatrix}t^2-1\\t^3-t\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v(t)}=\begin{pmatrix}2t\\3t^2-1\end{pmatrix}$
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn op tijdstip $t$ is $a=\frac{3t^2-1}{2t}$
Op $t=1$ geldt: $a=\frac{3\cdot 1^2-1}{2\cdot 1}=1$ .
Op $t=\frac{1}{3}$ geldt: $a=\frac{3\cdot (\frac{1}{3})^2-1}{2\cdot \frac{1}{3}}=-1$ .
Op $t=-\frac{1}{3}$ geldt: $a=\frac{3\cdot (-\frac{1}{3})^2-1}{2\cdot -\frac{1}{3}}=1$ .
Op $t=-1$ geldt: $a=\frac{3\cdot (-1)^2-1}{2\cdot -1}=-1$ .
Op $t=-\frac{1}{3}$ en $t=\frac{1}{3}$ zijn de raaklijnen dus evenwijdig met een raaklijn door de oorsprong. Daardoor zijn ze dan in de punten $A$ en $B$ en weten we dus dat ieder stuk even lang duurt.

Uitwerking met richtingsvectoren:

$\overrightarrow{s(t)}=\begin{pmatrix}t^2-1\\t^3-t\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v(t)}=\begin{pmatrix}2t\\3t^2-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v(1)}=\begin{pmatrix}2\cdot 1\\3\cdot 1^2-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v(-1)}=\begin{pmatrix}2\cdot -1\\3\cdot (-1)^2-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\ 2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v(t)}$ is evenwijdig met $\overrightarrow{v(1)}$ als $\begin{pmatrix}2t\\3t^2-1\end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix}$ . Dit geeft $\begin{cases}2t=2k\\ 3t^2-1=2k\end{cases}$ .
De vergelijkingen substitueren geeft $3t^2-1=2t$
Voer in: $\begin{cases}Y_1=3x^2-1\\Y_2 =2x\end{cases}$
Optie intersect geeft $x=1\vee x=-\frac{1}{3}$ .
Bij punt $A$ hoort dus $t=-\frac{1}{3}$ .
$\overrightarrow{v(t)}$ is evenwijdig met $\overrightarrow{v(-1)}$ als $\begin{pmatrix}2t\\3t^2-1\end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix}-2\\ 2\end{pmatrix}$ . Dit geeft $\begin{cases}2t=-2k\\ 3t^2-1=2k\end{cases}$ .
De vergelijkingen substitueren geeft $3t^2-1=-2t$
Voer in: $\begin{cases}Y_1=3x^2-1\\Y_2 =-2x\end{cases}$
Optie intersect geeft $x=-1\vee x=\frac{1}{3}$ .
Bij punt $B$ hoort dus $t=\frac{1}{3}$ .
De benodigde tijd van $O$ naar $A$ is $-\frac{1}{3}--1=\frac{2}{3}$ .
De benodigde tijd van $A$ naar $B$ is $\frac{1}{3}--\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ .
De benodigde tijd van $B$ naar $O$ is $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ .
Conclusie: De drie benodigde tijden zijn alle drie even lang.

Pagina's: 1234567891011